• 5

§ 3. Появление аксиоматического метода

3.1. Создание неевклидовой геометрии. Дальнейшее развитие геометрии пошло по нуги критики Евклида. Одни математики кри­тиковали Евклида за то, что он ограничивался рассмотрением только таких геометрических величин, которые можно построить с помощью циркуля и липейкн, и поэтому не решал многих практически важных задач, как, например, определение площади круга и объемов круг­лых тел. Эти пробелы Евклида, как мы знаем, были восполнены Архимедом. Другие математики критиковали Евклида за го, что он разрывал геометрию и арифметику и понапрасну шказывал для целых чисел снова то, что он уже доказал раньше для геометрических величин. Третьи подвергали критике аксиомы Евклида, т. е. его «постулаты» и «общие понятия» и предлагали исключить некоторые аксиомы или, наоборот, добавить новые. Особенно большие споры вызвал наиболее сложный и наименее наглядный постулат Евклида — его V постулат. Многие математики считали, что этот постулат является лишним и его можно и непременно нужно доказать как теорему с помощью остальных аксиом. Другие считали, что следует заменить постулат Евклида более простым и наглядным постулатом. Одним из таких более простых постулатов, равносильных V посту­лату, является следующий: «Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую».

Критика Евклида, продолжавшаяся свыше двух тысяч лет, при­вела к двум важнейшим открытиям. Критика того разрыва между геометрией и арифметикой, который имелся у Евклида, привела к расширению понятия числа до действительного числа, которым теперь можно было характеризовать не только отношения соизмери­мых геометрических величин, но и отношения несоизмеримых вели­чин. Действительное число можно непрерывно изменять, вследствие чего введение действительных чисел в математику было равносиль­ным введению в математику переменных величин. Этот величайший переворот в математике, связанный в первую очередь с именем Рене Декарта (XVII в.), непосредственно привел к открытию диффе­ренциального и интегрального исчислений, являющихся математиче­ским аппаратом механики и классической физики.

Споры по вопросу о V постулате привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию'), в которой выполняются все аксиомы геометрии Евклида, за исключением V постулата, заменяющегося противоположным утверждением: «В плоскости через точку вне пря­мой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную

*) См. статью о неевклидовых геометриях в кн. V ЭЭМ.

прямую».Эта геометрия оказалась столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида. Открытие неевклидовой геометрии опровергло мнение многих ученых, уверенных в том, что геометрия Евклида является единственной мыслимой геометрией, чуть ли не заложен­ной в нашем сознании до всякого знакомства с внешним миром. Появление новой геометрии поставило вопрос о том, какая геометрия имеет место в реальном мире: геометрия Евклида или геометрия Лобачевского. То бесспорное обстоятельство, что геометрия Евклида является отражением реального мира, не решает вопроса, так как отражение всегда является лишь приблизительным: так, например, эксперименты на малых участках земной поверхности согласуются с предположением о том, что поверхность Земли является плоско­стью, и нужны эксперименты на больших участках, чтобы доказать, что более правильно представлять себе эту поверхность сферой. Аналогично этому, и геометрия Лобачевского в малых участках почти не отличается от геометрии Евклида, и отличие между ними проявляется только в больших участках пространства; поэтому сра­зу вслед за созданием геометрии Лобачевского возник вопрос о естественно-научных экспериментах в больших областях реального пространства, которые уточнили бы геометрическое строение мира, в котором мы живем1).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я