2.1. Построения линейкой, циркулем, чертежным треугольни­ком и транспортиром. Хорошо известно, что не всякая задача на построение может быть решена конструктивно; иными словами, не всякая геометрическая фигура, математически вполне определенная, может быть теоретически точно построена с помощью данного на­бора инструментов. Так, например, по заданному единичному отрезку не может быть построен с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади круга единичного радиуса г). Точно так же не могут быть выполнены только с помощью этих инстру­ментов удвоение куба (см. стр. 220), трисекция произвольного угла (стр. 221), построение треугольника по его биссектрисам (стр. 223), построение правильного семиугольника или девятиугольника (стр. 225) и т. п. Разумеется, одна и та же задача на построение может ока­заться разрешимой при одном выборе набора инструментов и нераз­решимой при другом.

Мы будем считать, что речь идет о построениях, выполняемых не циркулем и линейкой, как это обычно делается в работах по геометрическим построениям, а большим числом инструментов — ли­нейкой, циркулем, чертежным треугольником и транспортиром. Это расширение инструментов произведено с целью привести теорети­ческое рассмотрение вопроса о конструктивных элементах в большее соответствие с чертежной практикой.

Укажем теперь наиболее характерные построения, которые могут быть осуществлены при однократном использовании приведенных выше инструментов.