• 5

9.5. Принцип перенесения и модели геометрических систем.

 «Принцип перенесения» (точнее, любой из многочисленных «принци­пов перенесения») позволяет сопоставить с каждым геометрическим предложением другое, совершенно новое предложение. Это новое предложение может быть проще первоначального, и тогда, доказав его, мы убедимся тем самым и в справедливости исходного предло­жения. Но и б том случае, когда новое предложение доказывается не более просто, чем исходное, мы не остаемся в проигрыше — ведь это предложение не надо доказывать самостоятельно, и, сформули­ровав его, мы «даром» получим лишнюю геометрическую теорему. Однако «принцип перенесения» имеет и иное значение — он проливает дополнительный свет на самую сущность геометрии (или разных «геомет­рий», которых, как мы теперь знаем, существует много). В самом деле, отвечающий «принципу перенесения» «словарь» служит для «перевода на новый язык» всех геометрических фактов и теорем. Полученное при гаком «переводе» предложение может весьма сильно отличаться от исходного, однако так как его истинность следует из истинности исходного предложения автоматически, надо его считать лишь иной формой того же самого предложения. Если теперь мы приме­ним наш «принцип перенесения» ко всем геометрическим фактам и теоремам, то мы получим некоторое видоизменение знакомой нам геометрии лишь внешне от нее отличающееся, но на самом деле полностью с ней совпадающее. Мы можем, например, в обычной геометрии Евклида называть «прямыми» окружности, проходящие через фиксированную точку О, а под «расстоянием» между двумя

D         АВ

точками Л и В понимать выражение ^ ^^ (см. «словарь» на

стр. 144—145); при этом все геометрические теоремы сохраняют силу, т. е. мы будем иметь новую «модель»') евклидовой геометрии. Так, по-прежнему можно будет утверждать, что, скажем, сумма квадра­тов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы или что множество всех точек, равноудаленных от двух данных то­чек, есть прямая линия, хотя все фигурирующие в этих теоремах геометрические понятия будут иметь новый, отличный от привычного нам смысл. Можно также называть «точками» прямые линии, а «пря-

О понятии модели см. статью «Аксиомы и основные понятия гео­метрии» (стр. 21—27 этой книги ЭЭМ).

мыми»— точки (см. «словарь» на стр. 150)—и все равно все знако­мые нам геометрические теоремы сохранят свою силу, т. е. мы полу чим еще одну модель евклидовой геометрии. Этим подтверждается весьма важный вывод о том, что содержание основных геометричес­ких понятий совершенно несущественно для геометрии, а важны лишь их свойства '). Именно поэтому возможно, видоизменив подхо­дящим образом содержание основных понятий, получить новую модель исходной геометрической системы, лишь по форме отличающуюся от ранее имевшейся. При этом все подобные модели следует считать со­вершенно равноправными, поскольку у нас нет никаких серьезных оснований предпочесть одну из них всем остальным; в самом деле, лишь привычка заставляет нас понимать под словом прямая именно траекторию светового луча, а не иной геометрический образ г).

ОIметим еще, что, разумеется, и для отличных от геометрии Евклида «геометрий» можно образовать много разных «принципов перенесения» и с их помощью много разных моделей. Для того чтобы прийти к какому-то подобному «принципу перенесения», дос­таточно лишь преобразовать все понятия этой «геометрии» при помощи произвольного преобразования л, не принадлежащего группе @ преобразований, играющих в этой «геометрии» роль «движений». На иллюстрациях, подтверждающих это утверждение, достаточно ясное после всего сказанного выше, мы здесь не остановимся.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я