• 5

9.4. Принцип перенесения, отвечающий полярному отображению.

Каждому неточечному отображению, например полярному ото­бражению II, также отвечает свой «принцип перенесении».

 

Отображение П переводит прямую в точку и точку в прямую; параллельные прямые оно переводит в точки, лежащие на одной прямой с центром О отображения, а точки, принадлежащие проходя­щей через О прямой,—в параллельные прямые (рис. 92). Прямые а и Ь, образующие угол а, отображение П переводит в такие точки А и В, что^£ 4ОВ = а (ибо OA ]_а и ОВ J_ b, так что отмеченные на рис. 92 углы имеют взаимно перпендикулярные стороны). Точки А и В, удаленные друг от друга на расстояние d, переходят в такие прямые а и Ь, что

A'B'=orm=tl-OA'-OB''

где А' и В'—проекции точки О на прямые а и b (рис 92; это следует из того, что точки А' и В' получаются из точек А и В

Рис 92.

Рис 93.

инверсией с центром О и степенью 1). Точку А и прямую b (рис. 93), обладающие гем свойством, что расстояние АР от А до b равно Л, полярное отображение П переводит в прямую а и точку В, причем расстояние BQ от В до а равно

d ^ — d-OB-OA'.

OA

Для доказательства этого достаточно воспользоваться подобием изо­браженных на рис. 93 прямоугольных гранений ОАРВ' и OBQA', имеющих общий угол /_ АОВ' = BOA' и пропорциональные сто­роны, заключающие этот угол: OA-OA' — ОВ ОВ' и следовательно,

OA ОВ            ,           „           OA UB

jjjy = од-,; ИЗ подобия этих трапеции следует, ч го др = Щ'

Остановимся еще на вопросе о том, во что переводит полярное отображение П окружность 5. Ясно, что если центр окружности 6 совпадает с центром О отображения П, то 5 переходит в окруж­ность S' с тем же центром О, радиус г которой обратен радиусу г

Таким образом, окружность 5 перейдет в множество всех таких точек А, что

АО 0D

= -у- = const (не зависит от <4),

т. е. в множество всех точек, отношение расстояний от которых до данной точки О и до данной прямой d равно посто- 0D ц

чннои величине —- = е. по это множество точек представляет со­бой коническое сечение (эллипс, параболу или гиперболу) S' с фокусом О и директрисой d; величина е называется эксцент­риситетом линии -S"'). При этом будет являться эллипсом, параболой или гиперболой в зависимости от того, меньше ли рас­стояние OD, чем г, равно г или больше г, т. е. от того, лежит ли центр О отображения п внутри на окружности 6' или вне 5 (рис. 95, а —в). Обратно, каждая точка окружности 5 (точка, при­надлежащая единственной из прямых а) переводится преобразова­нием П в касательную конического сечения S' (прямую, содержащую единственную точку .-1)

') См. в кн. V ЭЭМ < 1агоЮ о копиЛеских сечениях.

исходной окружности

 

при этом если первая окружность

понимается как совокупность то­чек, то вторая — как совокупность прямых (своих касательных), и на­оборот (рис. 94). -Пусть теперь центр D окружности £ отличен от точки О; радиус ее по-преж­нему обозначим через г. Окруж ность 5 мы будем понимать как совокупность («геометрическое ме­сто») прямых о, удаленных от точки D на расстояние г. Если d есть образ точки D при поляр­ном отображении, то прямая а пе­рейдет в точку 4, оасстояние АР которой от прямой <i равно

 

Рис. 94.

 

 

 

 

Рис. 95.

Таким образом, мы приходим к следующему «словарю»:

Исходное понятие

Точка А Прямая а

Точка 4, лежащая на прямой Ь Расстояние OA от О до точки А

Параллельные прямые

Угол между прямыми о и ft Расстояние между точками А и В

Расстояние АР от точки А до прямой b

Окружность с центром О и ра­диусом г

Окружность с отличным от О центром D и радиусом г

Касающиеся окружность и прямая Касающиеся окружности

Преобразованное понятие

Прямая а Точка А

Прямая а, проходящая через точку В

Величина -qjj , обратная расстои

нию О А' .от О до прямой а Точки, принадлежащие проходя

щей через О прямой Угол АОВ

А'В'

Величина од-.ов>. где А л В

проекции точки О на при мые а и Ь.

Величина     ;, где Q и А'—

проекции точек В и А на пря

мую а

Окружность с центром О и pj 1

диусом —

Коническое сечение с фокусом О, директрисой d и эксценгриси- UD

тетом — г

Коническое сечение и принадле­жащая ему точка Касающиеся конические сечениь

и т. д. Этот «словарь» позволяет составить много новых геометрн ческих теорем, получаемых из известных теорем при помощи поляр­ного отображения II.

В качестве примера использования отвечающего полярному отоб ражению II «принципа перенесения» рассмотрим теорему о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Н. Нетрудно по нять, что высоту AtDt исходного треугольника 4,/^С, полярное отоб ражение П переводит в такую точку М стороны ВС преобразованного треугольника, что угол МО4 является прямым. Поэтому теорема о точке пересечения высот переходит в следующую теорему: если через какую-либо точку О в плоскости треугольника ABC провести

три прямые, перпендикулярные прямым OA, ОВ и ОС, то точки .И, N и Р пересечения smux прямых с соответствующими сторонами треугольника ABC принадлежат одной прямой h (рис. 96).

Можно применить еще раз полярное отображение (с новым цен тром Q) к полученной только что теореме; тогда оиа перейдет в более сложное предложение. В свою очередь и эту последнюю теорему можно преобразовать при помощи нашего «принципа перенесения» и получить новое, еще более сложное предложение. Таким образом, при помощи нашего приема из одной теоремы можно по­лучить неограниченно много новых теорем.

Приведем еще несколько примеров, показывающих, как преобразует наш «принцип пе­ренесения» теоремы, тракту­ющие о свойствах окружно­стей.

Начнем с теоремы о том, что вписанный в окружность S угол АСВ, опирающийся на диаметр АВ,— прямой. Если центр полярного отображения П совпадает с центром О ок­ружности S, то «принцип пе­ренесения» переводит эту тео­рему в следующую: если а, Ь, с—три касательные к окружности S, причем а || b (это соответствует тому, что прямая АВ проходит через О), то отрезок, высекаемый а и b на с, ви­ден из центра О окружности под прямым углом (рис. 97, а).

Если принять за центр отображения П вершину С прямого угла, то окружность S перейдет в параболу с фокусом С и директрисой о, полу­чающейся полярным отображением из центра окружности S; точки А и В перейдут во взаимно перпендикулярные касательные а и b параболы, и мы получим теорему: точга пересечения взаимно перпендикулярных каса­тельных параболы принадлежит ее dupe трисе (рис. 97, б; эту теорему можно также сформулировать следующим образом: геометричес ое место вершин описанных вокруг параболы прямых углов есть директриса пара­болы). Наконец, приняв за центр отображения П произвольную точку Q плоскости, мы придем к теореме: две касательные а и Ь произвольного ко ни чес I ого сечения S', пересекающиеся на его директрисе о (это отвечает тому, что прямая АВ проходит через О), высекают на произвольной третьей касательной с отрезок, видный из фокуса Q кривой S' под прямым углом (рис. 97, в).

В качестве еще одного примера рассмотрим теорему о том, что каса­тельная t (круэкности S в ее точке А перпендикулярна радиусу OA; из нее следует, что отрезок про/звольной касательной а конического сечения S„ заключенный между директрисой о и точкой касания Т прял.ой а с S,, виден из фокуса Q под прямым углом (рис. 98). Любопытные следствия можно также получить из известной теоремы о прямой Симпсоиа, согласно которой основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки Р окружности S на стороны вписанного в S треугольника ABC, лежат на

 

одной прямой '). Примем за центр полярного отображения центр О окруж ности S. При этом окружность S перейдет в другую окружность S, с тем же центром О (рис.99,а); вписанному в S треугольнику ABC будет отвечать

 

 

 

 

 

описанный около S, треугольник j4,B,C„ а точке Р окружности S — касатель­ная р окружности S,; основание К перпендикуляра, опущенного из Р на сторону АВ, перейдет в прямую C,D, где D — такая точка касательной р,

') См., например, первую часть книги Ж- А д а м а р а, указанной в конце статьи, задачу 72.

 

Рис 98.

что C,OD=90е, т. е. точка пересечения р с прямой OD, параллельной бис­сектрисе внешнего угла при вершине С, (ибо ОС,— биссектриса bi утрен­него угла). Окончательно мы приходим к следующей теореме: прямые, соединяющие вершины треугольника А,В,С, с точками пересечения произ­вольной касательной р к вписанной в А,В,С, окружности S, с проведенными через центр О окружности S, прямыми, параллельными биссектрисам внеш­них углов при тех же вершинах треугольника пересекай тся в одной точке (рис. 99, а). Если принять за центр полярного отображения точку Р, то окружности S будет соответствовать парабола S, с фокусом Р, а вписан­ному в S треугольнику ABC — опи­санный около S, треугольник А,В,С,. т. е. треугольник, сторонами которо­го являются касательные параболы. Основания опущенных из Р на сторо ы ВС, АС, АВ перпендикуляров пе рейдут в перпенцикулярные к РА,, РВ, и PC, прямые, проходящие через вершины треугольника (заметим, что точка Р переходит в несобственную прямую). Таким образом, мы мо жем заключить, что три прямые, проведенные через вершины описан ного около параболы S, п-ргуголь ника А,В,С, перпендикулярно пря­мым, соединяющим вершины А„В,.С, с фокусом Р параболы, пересекаются в одной точке R (рис. 99, б; отсюда.

в частности, следует, что окружносто с диам тром PR проходит через точки Л,, В, и С„ т. е. что описанная вокруг А,В,С, окружность проходит через фокус параболы). Наконец, приняв за центр полярного тображения произголь ную точку Q. мы придем к теореме' если А,В,С, — произвольный треуголь­ник, описанный вокруг конического сечения S,(т е треугольник, стороны ко­торого являются касательными пинии S,)uQK. QL, QM — прямые проведен­ные через фокус Q кривой S, перпендикулярно QA,, QB, uQC, и пересекавшие произвольную четвертую касательную р конического сечения S, в mo4iax К, L и М, то прямые А,К, B,L и С,М пере екс.ются в одной <по<ке (рис 99, в).

Вспомним еще теорему о степени точки Р относительно окружности S, согласно которой произведение РА РВ отрезков любой проходящей через Р прямой, пересекающей окружность, постоянно (т е зави­сит лишь от S и от Р. но не ст секущей РАВ) Приняв точку Р за центр полярного отображения, мы преобразуем эту теорему в следующую: про­изведение расстояний от фокуса Р конического сечения S, до параллельных касательных а и Ь (параллельное™ асательных а и Ь отвечает тому, что прямая АВ проходит чепез Р' постоянно, т. с. зависит лишь от S,, но не от выбора кссатсльных (рис 100)

Иногда, обратно, свойства кон ческих сечений позволяют доказ вать новые теоремы об окружностях В качестве примера можно упомянуть здесь о так назьпаемых фокальных свойствах конических сечений, согласно которым сумма (разность) расстояний от произвольнчй точки Л, эллипса (гиперболы) S до двух фокусов Р и Q постоянна '); в силу симме­тричности кривой S отсю а также следует, что сумма (разность) расстоя­ний от фокуса Р эллипса (гиперболы) до точек Л, и В,, касательные в которых параллельны, постоянна (т. с. PA, ± РВ, = РА,± CM, = const; рис. 101 а, б).

') См в кн. V ЭЭМ статью о конических сечениях

 

а)

 

б)

Рис. 101.

Переходя теперь с помощью полярного отображения с центром Р от кони­ческого сечсния S к окружности S,, мы получим, что если через внутрен­нюю (внешнюю) точку Р окружности S, проводить всевозможные секущие АВ, то сумма (разность) величин, обратных расстояниям точки Р до касатель­ных а, и Ь, к о\ружности S, в точках А и В будет постоянна.

Читатель без труда самостоятельно отыщет много других интересных примеров использования порожденного полярным отображением П «прин­ципа перенесения». Содержательные применения имеет также связанный с подерным преобразованием Л «принцип перенесения», исследование ко торого мы полностью предоставляем читателю

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я