• 5

9.3. Принцип перенесения

,           \

отвечающий инверсии. В каче- рис. 88.

стве второго примера естествен­но рассмотреть инверсию I

(§ 1 стр. 56). Это преобразование переводит точку в точку и проходящую через центр О инверсии прямую в прямую; не проходящую же через О прямую / инверсия I переводит в проходящую через О окружность Q0, а окружность Q0—обратно в пря­мую /; наконец, окружность Q, не проходящую через О, преобразова­ние I переводит в другую (может

Рис. 89.

быть, ту же самую!) окружность Q', также не проходящую через О (см. стр. 75). Параллельные прямые преобразование I переводит в две окружности (или прямую и окружность), касающиеся в точке О, т. е. не имеющие отличных от О общих точек (рис. 89, а); перпендику­лярные же прямые преобразование I переводит в перпендикулярные окружности (прямую и окружность), поскольку I сохраняет величину

угла (рис. 89, б)1). Наконец, точки А я В, расстояние между кото­рыми равно d, инверсия с центром О и степенью k переводит в такие точки А' и В', что

А'В' АВ

OA'

7 OB

т. е.

А'В' = d •

OA' OB

^это следует из подобия изображенных на рис. 89, а треугольни­ков ОАВ и ОВ'А' с общим углом О и пропорциональными сторо­нами: ОА-ОА' = ОВ-ОВ' и, значит, то из последней формулы получаем

А'В' =d-

OA OB

_ОВ' \ OA')

А так как OA' =

OA '

OA-OB'

таким образом, расстояние между преобразованными точками А' и В'

АВ

пропорционально величине ОА-ОВ'

Теперь мы можем выписать «словарь», отвечающий инверсии 1:

Исходное понятие Точка

Проходящая через О прямая Не проходящая через О прямая Проходящая через О окружность Не проходящая через О окруж­ность

Параллельные прямые

Перпендикулярные прямые Угол между прямыми

Расстояние между точками А и В

Касающиеся окружности (или окружность и прямая)

Преобразованное понятие

Точка

Проходящая через О прямая

Проходящая через О окружность

Не проходящая через О прямая

Не проходящая через О окруж­ность

Касающиеся в точке О окруж­ности (или окружность и пря­мая)

Перпендикулярные окружности (или окружность и прямая, или две прямые)

Угол между окружностями (или окружностью и прямой, или двумя прямыми)

Величина

АВ

ОА-ОВ

Касающиеся окружности (окруж­ность и прямая) или парал­лельные прямые

') См. статью «Окружности», стр. 474. [Углом, образованным двумя окружностями в точке их пересечения, называется угол между их каса­тельными в этой точке: аналогично угол между прямой и окружностью — это угол между прямой и касательной к окружности в точке ее пересече­ния с прямой.)

и т. д. Этот «словарь» позволяет получать из известных теорем евклидовой геометрии совершенно новые, зачастую весьма любопыт­ные предложения.

Так, например, из известной теоремы о том, что сумма углов треуголь­ника равна 180°, следует, что если три окружности пересекаются в одной точке О, то сумма углов *треугольн 1ка», образованного в пересечении этих окружностей, равна 180° 'рис. 90, а). Из того, что углы при основании

 

 

 

Рис. 90.

равнобедренного треугольника равны следует, что если проходящие через

одну точку D окружности пересекаются в тапих трех точк ах А, В и С, что

/           АВ

хорды АВ и АС пропорциональны хордам ОВ и ОС т. е. величины „

\           и А ОВ

АС      \

и Qjf~QQ равны), то окружности ОАВ и О АС образуют одинаковые углы

с окружностью ОВС ^ рис. 90, б; обратно, из равенства этих углов выте-

АВ ЛС\ кает. что      ) ■

Из того, что сумма двух сторон треугольника ье меньше его третьей стороны, вытекает, что для любых четь.рех точек А, В, С, D плоскости (где i-очка D играет роль центра О инверсии)

АВ ВС            АС

DA-DB + DB-DC^ DA DC ' или

AB-CD + BC-AD^AC-BD.

Равенство в последнем соотношении будет иметь место в том и только в том случае, если точки А, В к С лежат на одной окружности (или пря­мой), проходящей через точку D (рис. 91, а; этот случай отвечает тому, что три исходные точки лежат на одной прямой); таким образом, сумма произведений противоположных сторон вписанного в окружность четырех­угольника ABCD равна произведению его диагоналей — это важная

10 Энциклопедия, ки. 4

теорема элементарной геометрии называемая теоремой Птоле мея Аналогично этому из теоремы Пифагора вытекает, что если точки А В, С и D плоскости таковы, что окружности DAB и DBC перпендику лярны то

Г АВ У ( ВС \' = ( АС \г \DA-DB) \DB-DC ) DA-DCJ '

илу.

AB2CD*+BC2AD* = AC' BDг Но нетрудно видеть, что условие перпендикулярности окружностей DAB

 

Рис. 91

четырехугольника ABCD. В самом деле, из рис. 91, б видно, что

ABD= UDA, £DBC=£CDV,

так что сумма £ В + D= UDA + ADC + £ CDV как раз равна углу UDV между окружностями DAB и DBC Таким образом, последнее предложение можно сформулировать следующим образом: если сумма про тиво юложных улов четырехугольника ABCD равна 90°, то сумма квадра •пов произведений его противоположных сторон равна квадрату произведения диагоналей (ср. с теоремой Птолемея, которую можно сформулироватт так: есл i сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, mi сумма про 13веден"й его протино ' о ложных сторон равна произведению диагоналей)

Ясно, что число примеров теорем, получаемых из теорем евклидовой геометрии при помощи «принципа перенесения», отвечающего инверсии I можно неограниченно увеличииать.

Не представляет также труда составить «словарь», соответствующий гиперболической инверсии (§ 1, стр. 59), в котором, в частности, прямым будут отвечать гиперболы (см. стр 75). Применение свя энного с этим «словарем» принципа перенесения позволяет получить целый ряд любо пытнчх теорем, относящихся к гиперболам.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я