• 5

9.2. Принцип перенесения, отвечающий сжатию к прямой.

 Про­стейшим из известных нам геометрических преобразований, отличных от преобразований подобия, является сжатие к прямой; обозна­чим его, скажем, 2 (§ 1, стр. 55). Это преобразование переводит точку в точку и прямую в прямую; однако окружность Q оно пере­водит не в окружность, а в эллипс Е, одна ось которого параллельна оси сжатия о, а вторая — перпендикулярна ей, и отношение осей которого равно коэффициенту сжатия k (рис. 84)'). Все такиеэллипсы Е гомотетичны фиксированному эллипсу Е0 с полуосями длины 1 и k, отвечающему «.единичной окружности» (окружности радиуса 1) Q0,

Рис. 84.

о)

Рис. 85.

или получаются из Е0 параллельным переносом. Из того, что сжатие 2 сохраняет отношение отрезков одной прямой (см. стр. 62), следует, что отрезок АВ длины d это преобразование переводит в отрезок А'В' длины d-0'K', где О' К' — параллельный А'В' полу диаметр эллипса Е0. Параллельные прямые преобразование 2 переводит в параллельные (см. стр. 62); перпендикулярные же прямые 2 переводит в сопря­женные относительно Е прямые / и т, т. е. такие, что диаметр эллипса Е, параллельный прямой /, делит пополам все хорды эллипса Е, параллельные т (рис. 85; это следует из того, что каж­дый диаметр окружности Q делит пополам все перпендикулярные этому диаметру хорды окружности fi).

') См. в кн. V ЭЭМ статью о конических сечениях.

 

Рис. 86.

Рис. 87.

Таким образом, преобразованию 2 отвечает следующий «словарь»:

Исходное понятие

Точка

Прямая

Окружность

Единичная окружность Q0 Параллельные прямые Перпендикулярные прямые

Длина отрезка АВ

Середина отрезка

Преобразованное понятие

Точка Прямая Элчипс Е

«Единичный эллипс» Е0 Параллельные прямые Сопряженные относительно Е пря­мые

АВ

Отношение

ОК

где ОК—парал­

лельный АВ полудиаметр Е0 Середина отрезка

который можно, разумеется, еще продолжать. Из каждой теоремы евкли­довой геометрии мы можем получить новую теорему, заменив все

фигурирующие в исходной теореме понятия с помощью выписанного «словаря». Это утверждение и составляет содержание «принципа перенесения», отвечающего сжатию к прямой 2.

Так из теоремы о том, что медиана ра..но5едренного треугольника служит одновременно и высотой, вытекает, что если стороны АВ и АС треугольника ABC пропорциональны параплел ным им полудиаметрам эллип­са Е, то медиана AD треугол >ника сопряжена относительно Е с основанием ВС треугольника крис, об). '1з теоремы о степени точки относительно окру-кности вытекает, что если через фиксированную точку М провести секуму.о МАВ эллипса Е (где А и В — точки Е), то произведение МА-МВ

 

 

 

будет пропорционально квадрату ОК2 параллельного МАВ полудиаметра

ГЛА-МВ е

эллипса Ь, т е отношение —-т-т^— будет одним и тем же для всех секу

и t\

щих (рис. 87); из определения и свойств инверсии (стр. 56 и 75) — чю преоб­разован '£ 1 сопоставляющее с каждой точкой А плос ост i такую точ у А' луча OA, что ОА-ОА' =  Ч

=ОКг, гдг К есть точка пере.се     х,

чения прямой ОАА' с фиксирован

ным эллипсом Б с центром О, не-          ja.5

реводит каждую не проходящую           ^                      \

чер з О прямую плоскости в

эллипс, гомот точный Е или полу (        \

чающийся из Е параллельным иг- (      ) N.

реносом (рис. 88) и т д      У

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я