• 5

§ 9. Принцип перенесения

9.1. Введение. Вернемся теперь к определению обычной (евкли­довой) геометрии по Клейну. Это определение утверждает, что движе­ния (или движения и преобразования подобия) не меняют содержания теорем евклидовой геометрии, т. е. переводят каждый геометрический чертеж в полностью равноправный ему чертеж, из которого можно вывести лишь те же самые заключения, что и из первоначального чертежа.

Последнее обстоятельство связано с тем, что наше преоб­разование сохраняет неизменными все понятия и величины, имеющие геометрический смысл, —параллельные (или перпендикулярные) прямые оно переводит в параллельные (перпендикулярные) прямые, равные отрезки—в равные отрезки, сохраняет величину угла между двумя прямыми или отношения площадей двух фигур и т. д. Любое же о т л и ч- ноеот подобия преобразование л уже не будет обладать этим свойством—оно исказит смысл геометрических понятий и, следова­тельно, преобразует исходную геометрическую теорему в какое-то совершенно новое предложение.

Это утверждение в старину часто формулировали, говоря, что каждо­му (отличному от подобия!) преобразованию Я отвечает свой принцип перенесения, позволяющий преобразовывать геометрические тео­ремы в новые; мы здесь также воспользуемся удобным и выразитель­ным термином: «принцип перенесения». Этот термин имеет следующий смысл. Преобразование л не сохраняет геометрических понятий, т. е. оно преобра*ует геометрические образы в новые, с точки зрения евклидовой геометрии отличные от исходных. Мы можем указать, как именно преобразует геометрические объекты заданное преобразо­вание л; другими словами, мы можем составить отвечающий рассмат­риваемому преобразованию «словарь», содержащий «перевод» всех геометрических понятий, так сказать, на новый «язык», другими словами,— таблицу, указывающую, во что именно переводит преобра­зование я те или иные геометрические объекты. Этот «словарь» позволяет преобразовывать («переводить на новый язык») все гео­метрические теоремы: в самом деле, из любого предложения, сфор­мулированного в терминах обыкновенной евклидовой геометрчи, мы сможем получить новое предложение, заменив все входящие в исходную теорему геометрические понятия образами, в которые переводит их преобразование л. Для того чтобы пояснить это последнее утвержде­ние, мы проиллюстрируем его на ряде достаточно разнообразных примеров; попутно мы увидим, каким богатейшим источником новых геометрических фактов и теорем могут служить геометрические пре­образования.

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я