• 5

8.5. Группы неточечных преобразований.

 Многое из того, что было сказано выше о точечных отображениях и преобразованиях пло­скости, может быть перенесено и на произвольные (не обязательно точечные!) геометрические отображения и преобразования. Так, можно

') См. статью «Окружности» в этой книге ЭЭМ, . частности стр 510—513.

определить произведение двух отображений Ф и У, пред­ставляющее собой результат последовательного осуществления сначала отображения Ф, а затем отображения У (разумеется, область зна­чений отображения Ф должна совпадать с областью определения ото­бражения Т). В частности, имеет смысл понятие произведения преоб­разований, например двух преобразований, определенных в множестве прямых линий, или двух преобразований, определенных в множестве окружностей.

Простой пример произведения двух (неточечных) преобразований до­ставляет преобразование Р2Р„ где Р, есть расширение на величину d, а Р2—расширение на величину d2. Ясно, что Р2Р, есть тоже расширение на величину d,-fd2- ведь Р, переводит (направленную) прямую I в прямую /, || / того же, что и I натра- вления, лежащую справа от I и удаленную от / на рас­стояние d,; расширение Р2 переводит /, в прямую /'||/, того же направления, лежа щую справа от /, и удален ную от /, на расстояние d2; но ясно, что /' получается из / расширением на величину d, + d2 (рис. 82; можно также рассуждать так: Р, переводш произвольную окружность 2 радиуса г в концентрическую с 2 окружность 2, радиуса r-f-d„ а Р2 переводит 2,в кон­центрическую с 2, окруж­ность 2' радиуса ('' + d1)-|-

+ d2 = r + (j,-|-d2), получающуюся из 2 расширением на величину d,-fd2).

Можно также говорить о произведении Д2Д, двух подерных преобра­зований Д, и Д2: если Д, переводит линию у в линию у,, а Д2 — линию у, в линию у', то преобразование Д2Д, переведет у в у' ').

Имеет также смысл понятие произведения П2П, двух полярных ото­бражений П, и П2; его областью действия будет множество всех точек и прямых (проективной) плоскости. При этом П2П, будет переводить точки в точки, а прямые — в прямые, т. е. оно как бы (-.распадается» на два отдельных преобразования, одно из которых будет точечным, а дру­гое— преобразованием в множестве всех прямых проективной плоскости; первое из них (точечное преобразование), как легко видеть, будет про­ективным преобразованием «Квадрат» ПП=П2 полярного отображения П является тождественным преобразованием, ибо переводит каж дую точку и каждую прямую в себя; это означает, что полярное отображение является инволютивным (см. § 5, стр. 97), т. е. обратным самому себе

Для неточечных отображений и преобразований имеет смысл также понятие отображения (или преобразования) Ф-1, обратного

/ Лчг \ \

( / х i V'

\ \ г 1

 

 

\ /

А,

 

 

4

Г

Рис. 82.

') Подерные преобразования Д, и Д2 можно также рассматривать как пр образования в множестве линейных элементов плоскости (см. стр. 136); в таком случае и произведение Д2Д, двух подерных преобразований при­дется рассматривать как преобразование в множестве линейных элементов.

данному отображению (преобразованию) Ф. Это отображение определя­ется следующим образом: если Ф переводит геометрический образ а в геометрический образ а' (а и а' могут являться точками, прямыми, окружностями или иными геометрическими объектами, возможно раз­ной природы), то Ф-1 переводит а' в а. Область действия обратного преобразования Ф-1 совпадает с областью действия преобразования Ф. Так, скажем, обратной для гомотетии с центром О и коэффициен­том k, рассматриваемой как преобразование в множестве прямых плоскости, является гомотетия с тем же центром О и коэффициен­том 1 jk (также рассматриваемая как преобразование в множестве пря­мых); преобразование Д-1, обратное подерному преобразованию Д с центром О, переводит улитки Паскаля в окружности и т. д.

Понятия прои ведения двух (неточечных!) преобразований и обрат­ного преобразования позволяют определить группу таких преобра­зований, т. е. такую совокупность (Ч преобразований, которая: 1° содержит тождественное преобразование I; 2° наряду с каждым преобразованием Ф содержит и обратное ему преобразование Ф-1; 3° наряду с каждыми двумя преобразованиями Ф и У содержит и их произведение УФ Ясно, например, что образуют группу аффинные преобразования, рассматриваемые как преобразования в множестве прямых линий плоскости, или круговые преобразования, рассматри­ваемые как преобразования в множестве окружностей.

Более новыми для нас являются группа осевых круговых преобразований или группа касательных круговых преобразований; например, все осевые круговые преобразования образуют группу, так как 1 тождественное преобразование, рассматрива­емое как преобразование в множестве направленных прямых плоскости, переводит каждую окружность в себя, т. с. является круговым; 2° если Ф есть преобразование в множестве направленных прямых, переводящее окружности с окружности (круговое преобразование), то и обратное п е- образование Ф~1 является круговым (если Ф переводит окружность 2 в окружность 2', то Ф-1 переводит 2' в 2); 3° если преобразования ФиТ, определенные в множестве направленных прямых, переводят окружности в окружности, то и УФ переводит окружности в окружности (если ф переводит окружность 2 в 2,, а У — окружность 2, в 2', то ФФ перево­дит 2 в 2'). Частью группы осевых круговых преобразований является группа расширений, для построения которой надо определить рас­ширение на величину нуль (тождественное преобразование) и расширение на отрицательную величину — d, сдвигающую каждую (направленную) прямую на расстояние d в л е во и переводящее (направленную) окружность радиу­са г в концентрическую с ней окружность радиуса г—d (рис. fc3; ср. выше, стр, 126). При этом обратным расширению на (положительную или отрица­тельную!) величину d будет расширение на величину —d, а произведение расширений на величины d, и d2 всегда будет равно расширению на вели­чину dl-\-d2.

Понятие группы (неточечных!) преобразований очень важно потому, что оно позволяет говорить о геометриях, основным элементом которых является не точка, а другой геометрический объект —

 

прямая линия, окружность и т. д. Ясно, что приведенное в § 6 общее определение геометрии по Клейну сохраняет силу и в том случае, если под «геометрической фигурой» понимать не множество точек, а скажем, множество прямых; в этом случае и «движениями» соответствующей «геометрии» естественно назвать какие-то преоб­разования в множестве прямых линий плоскости. Однако независимо от того, играют ли роль «движений», совмещающих между собой «равные» фигуры, преобразования в множестве точек или какие-то неточечные преобразования, определенное с помощью S' этих «движений» «равенст- /           \

во» в том и только в том Г, I j. >{ \J\ \ случае будет удовлетворя гь I '1 f ) I

условиям рефлексивности, \ V У /,        —                    г"

симметричности и транзити-      у^у      -d

вности(см. выше, стр. 102),                     \ *

если совокупность «движе-         / /         ^ч \

ний» образует группу. Эго f /       \ \

условие очерчивает круг / /         \ \

«неточечных» геометрий, к / /     \ \

числу которых принадлежат II    *           I 1/1

линейчатая геомет- I \       d I

р и я (геометрия прямых ли- \ \   J J

ний) икруговаягео- \ \        '

метрия (геометрия окруж-           \

ностей), являющиеся содер-      Рис. 83.

жательными и хорошо изу­ченными геометрическими дисциплинами. Ясно, что каждая «геомет­рия» подобного рода задается указанием группы (неточечных!) пре­образований, играющих в этой «геометрии» роль «движений».

Так, основными ветвями геометрии окружностей являются в настоящее время «точечная геометрия окружностей», базирующаяся на группе точеч­ных круговых преобразований, «осевая геометрия окружностей», в основе которой лежит группа осевых круговых преобразований, и «контактная геометрия окружностей», задаваемая группой касательных круговых пре­образований '). При этом наша новая (более широкая!) точка зрения на геометрию приводит к необходимости несколько уточнить изложенную в предыдущем параграфе концепцию Клейна теперь нам следует считать, что отдельные «i еометрии» различаются не только группами преобразова­ний, играющими роль «движений», но и выбором основного элемента «гео­метрии»: так группа аффин ых преобразований может быть положена в основу «точечной аффинной геометрии» и «линейчатой аффинной геомет­рии»; группа (точечных) круговых преобразований-—в основу «точечной ана- лагматической геометрии» и «круговой аналагматической геометрии» и т д.

') Этим трем геометриям посвящены гри части статьи «Окружности» в этой книге ЭЭМ.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я