• 5

8.4. Подерное преобразование.

 В качестве последнего примера неточеч­ного преооразовання плоскости мы рассмотрим так называемое подерное

преобразование А, переводящее каж­дую линию плоскости в другую ли­нию, но не сохраняющее ни точек, ни прямых, ни окружностей. Это преобразование определяется сле­дующим довольно сложным обра­зом. Пусть у—некоторая кривая на плоскости; с каждой точкой А кри­вой у сопоставим основание А' перпендикуляра, опущенного из фиксированной точки О (ц е н т р а подерного преобразования А) на касательную о, проведенную к кри­вой у в точке А '); когда точка А пробегает линию у, соответствующая ей точка А' пробегает новую линию у', которая и считается образом ли­нии у ПРИ преобразовании А (рис. 75). Нетрудно понять, что прямая о переводится подерным преобразованием в одну точку А — основание пер­пендикуляра, опущенного из О на прямую а (рис. 76), точка же А, рас­сматриваемая как пучок прямых (которые все играют роль «касательных» к точке), переходит в окружность 2, построенную иа отрезке OA, как на диаметре (рис. 77). Окружность с центром О подерное преобразование А

Рис. 75.

Подерное преобразование мы определили как преобразование в множе­стве линий плоскости (к числу которых причисляются и прямые линии и даже точки), переводящее каждую линию у в новую линию у' Вгзмо- жен, однако, и другой подход к этому преобразованию, в некоторых отно­шениях более удобный. Из определения преобразования Л следует, что

 

 

 

 

 

Рис. /8.

точка А' преобразованной кривой у', сопоставленная с точкой А кривой у, полностью определяется заданием точки А и касательной а к кривой у в точке А — никакие другие данные о кривой у для определения точки А'

 

 

 

Рис. 79.         Рис. 80.

не нужны (А' есть основание перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую о). Но, зная точку А и прямую а, можно определить не только точку А', но и касательную о'к кривой у' в точке А' В самом деле, пусть В—другая точка кривой у. и b—касательная к у в этой точке: точ­ке В отвечает точка В' кривой у', которую можно определить как осно­вание перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую Ь (рис. 79). Касательную а' кривой у' в точке А' можно определить как предел, к

 

 

 

которому стремится секущая А В' когда точка В' стремится к А' иль, что то же самое, когда В стремится к А. Но когда В стремится к А, точ­ка Q пересечения прямых а и Ь также стремится к А\ отсюда вытекает,

что прямая А'В' — хорда ок­ружности 2„ построенной на отрезке OQ, как на диа­метре, — стремится к пря­мой о', касательной в точке А' к окружности 2 (рис. 80), построенной, как на диаметре, на отре°ке OA (хорда окруж­ности 2, стремится к каса­тельной окружности 2, ибо когда В стремится к А, и точ­ка В' стремится к А )

Из доказанного следует, что касающиеся между собой в точке А кривые подерное преобразование Д ереводит в кривые, касающиеся между собой в сопоставленной с А точке Л'(рис 81, с) Другими словами можно сказать, что совокупность точки А и задан- ' а)    ного р ней направления а

ч          преобразование Д переводит

п•        \           -в союкупность точки А' и

, X—               а'         заданного в ней направления

Точку с проходящей через

-                       /           нее прямой в геометрии обыч-

\           Аг \у'   но называют линейным

3 / I      {           элементом. Поэтому можно

г ^        ,           —сказать, что подерное преобра-

Лл '' 1 '           Ну' зование Д есть преобразование

f\ I        V в множестве линейных элемен-

/I \ I      У \ тов плоскости, переводящее

| i /       каждый лин йный элемент

I I у      (А, о) в другой линейный эле-

/'          '           мент (А', а'). Кривую у. Р0с-

-           сматриваемую как совокуп-

0          ность своих линейных элемен­

тов (точек у и касательных Рис- 81.      куц этих точках), Д пере­

водит в другую кривую, обра­зованную линейными элементами, в которы" переходят составляющие у линейные элементы (рнс Ы, б). Преобразования такого род J называются касательными преобразованиями *); таким образом, Д еегт касательное преобразование.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я