• 5

Теорема Дезарга.

 Если прямые AAt, ВВ, иССЛ, соединяющие соответствующие вершины двух треугольников ABC и /4,В,С,, пересекаются в одной точке О, то точки К, L и М пересечения соответствующих сторон этих треугольников лежат на одной прямой (рис. 72, а). Для доказательства произведем полярное отоб­ражение П с центром в точке О. При этом точки А и Л, перейдут в прямые а и а,, перпендикулярные прямой ОАА, и, следовательно, параллельные между собой; точки В и В,, С и С, также перейдут в прямые Ь и bt || Ь, с и с, || с. Таким образом, треугольники ABC и         перейдут в новые треугольники с соот­

ветственно параллельными сторонами, образованные прямыми а, Ь, с и а,, Л,, с,. Вершины этих новых треугольников мы обозначим через А', В', С' и А„ В[, С[- Так как П (Л) = а, П (В) = b, то прямая АВ переходит при полярном отображении в точку пересечения прямых а и Ь, т.е. П(АВ)= С'. Аналогично ПМ,В,) = С,. Следовательно, точка К пересечения прямых АВ и Л,В, переходит в прямую

') См. учебники проективной геометрии, укаганные г сьсскег) на стр. 110.

 

 

 

 

 

 

 

9*

Рис. 72.

C'C'u т. е. ЩА^СС,. Аналогично U(L)=.A'A\, П(ЛГ) =£'£,. Поэтому для доказательства того, что точки /ч, L, М лежат на одной прямой, достаточно установить, что прямые А'А\, В'В\, С'С\ пересекаются в одной точке. Но из параллельности прямых а и с,, b и b , с и с, вытекает, что либо треугольники А'В'С' и А\В[С\ равны и получаются друг из друга параллельным переносом (рис. 72, б), и тогда прямые А'А\, В' В,, С'СХ параллельны между

собой, т. е. пересекаются в А!/"- одной несобственной точке, либо треугольники А 'В'С' и А\В\С, гомотетичны, и тогда прямые А'Аи В'В\, C'Ci так­же пересекаются в одной точке — центре гомотетии (рис. 72, е). Следовательно, в любом случае точки К, L, М лежат на одной прямой. Заметим, что одна из точек К, L, М или даже вся пря­мая KLM может оказаться несобственной (рис. 72, г, д).

Теорема Дезарга явля­ется типичной теоремой проективной геометрии; сле­довательно, к ней применим принцип двойственности. Эта теорема утверждает, что если два треугольника ABC             - "        таковы, что пря­мые ЛЛ,, BBt и СС, пересе- ' каются в одной точке О, Рис. 73. то точки пересечения соот­ветствующих сторон а и с,, с к с, двух треугольников лежат на осной прямой (рис. 73, а). Заменим теперь в формулировке этой теоремы слово «точка» словом «прямая» и наоборот, в соответствии с принципом двойственности. Мы получим следующее утверждение: если два «трехсторонникаъ abc и albJci таковы, что точки с-с, (точка пересечения прямых а и я,), />•£>, и с-с1 принадлежат одной пря­мой о, то прямые, соединяющие соответствующие вершины трехсторднников, пересекаются в одной точке. Рис. 73, б, выра­жающий эту теорему, не отличается от рис. 73, с, выражающего теорему Дезарга, но само содержание теоремы изменилось—условие ее заменилось заключением, и наоборот. Таким образом, мы пришли ь теореме, обратной первоначально сформулированной нами

 

Ь и bv

теореме Дезарга (эта обратная теорема также обычно связывается с именем Дезарга). При этом полученную таким образом теорему нам уже не надо доказывать: справедливость ее следует из (прямой! теоремы Дезарга и принципа двойственности. Разумеется, имеющее место в нашем случае совпадение теоремы, «двойственной» исходной теореме, и теоремы, обратной ей, является случайным

Наконец, приведем еще один пример применения полярного отобра­жения к доказательству геометрической теоремы Пусть касательная 1 к вписанной окруок ности а треугольника ABC пересекает стороны треуголь­ника в точках М, N и Р; прямые ОМ, J_ ОМ, ON, J_ ON и OP, ХОР (где

I

 

Рис. 74.

О—центр окружности о) пересекают те же стороны в точках М„ N, и Р,; докажем, что точки М„ N, и Р, тоже лежат на одной касательной /, к окруочности а (рис. 74) Будем считать, что радиус окружности о ра ен 1, и произведем полярное отображение П с центром О. При этом прямые АВ, ВС, СА и I перейдут в точки С„ А,, В, и L, их касания с окружностью а; точки М, N и Р перейдут в прямые L,C, _]_ ОМ, L,A,\ON и L,B,J_OP; точки /И,, N, и Р, перейдут в прямые m, 1 ОМ„ л, J ON, и р, J^ OP,, проходящие через точки С,. А, и В, и, очевидно, параллельные ОМ, ON и ОР, т. е. перпендикулярные прямым Z.,C„ L,/1, и Z.,B,. Но отсюда

Рис. 76.         Рис 77.

переводит в себя; если же центр окружности 2 отличен от точки О, то преобразование А переводит 2 в довольно сложную кривую, называемую улиткой Паскаля (рис. 78, а—в; изображенная на рис. 70, б «серд­цевидная» улитка Паскаля называется кардиоидой). Улитки Паскаля — очень интересные кривые; они могут быть определены (даже несколькими спосо­бами) и независимо от подерного преобразования.

') Касательной к кривой у в ее точке А, как обычно, называется предельное положение секущей АВ, к которому стремится секущая когда точка В кривой у стремится к А (см. статью «Производные, интегралы и ряды», кн. III ЭЭМ, стр. 305).

 

 

 

следует, что прямые т,, /г, и р, пересекают окружность а в одной точке L, диаметрально противоположной точке Lt; этой точке отвечает (параллель ная /!) прямая /„ которая касается окружности а в точке L и которой и принадлежат точки М,, N, и Р,.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я