• 5

8.3. Полярное отображение.

 Принцип двойственности в проек­тивной геометрии. Важным и интересным примером отображения, переводящего точки в прямые линии, а прямые—в точки, яв­ляется так называемое полярное отображение П с центром О. Это отображение каждую точку А плоскости переводит в прямую а, перпендикулярную OA и проходящую через точку А', в кото­рую точка А переводится инверсией с центром О и степенью 1

^т.е. через такую точку А' луча OA, что  обратно,

прямую а отображение П переводит в точку А (рис. 71, а).

Ясно, что областью действия полярного отображения является множество всех точек и прямых плоскости. Для наиболее полного рассмотрения полярного отображения целесообразно счи­тать, что точки и прямые рассматриваются не на обычной (евклидо­вой), а на проективной плоскости. При этом нужно допол­нить определение полярного отображения соглашением, что цен тру О соответствует «бесконечно удаленная» (несобственная) прямая проек­тивной плоскости, а несобственной точке А, определяемой проходя­щей через нее прямой /, соответствует проходящая через О прямая.

 

 

 

перпендикулярная /. (В противном случае нам пришлось бы исклю­чать из рассмотрения точку О и проходящие через нее прямые, что также может служить вариантом рассмотрения полярного отображе­ния, но менее удобным, чем использование несобственных элемен­тов проективной плоскости.)

Ряд замеча тельных свойств полярного отображения П мы укажем ниже; здесь же отметим лишь следующее его свойство, бесспорно важнейшее из всех: если П(/А) = с и В—точка прямой а, то пря­мая Ь=П{В) проходит через точку А. Действительно, обозначив через В' точку пересечения прямой ОВ с прямой ft = IJ(fi), мы най­дем OB-OB' = ОА-ОА' (= 1) или

OA' _ ОВ' ~ОВ~ OA ■

Из этого следует, что треугольники OA'В и ОВ'А подобны; в частности, ОВ'А = /_0А'В= 90°, и потому точка А лежит на перпендикулярной

9 Энциклопедия, кн. 4

к ОВ прямой Ь. Предоставляем читателю проверить, как видоиз­менится рис. 71, а, если точка А (или В) совпадает с О или является несобственной.

Это свойство полярного отображения означает, что прямую а, рассматриваемую как ряд точек, отображение П переводит в точку А, понимаемую как пучок прямых; обратно, любой пучок прямых отображение П переводит в прямолинейный ряд точек (рис. 71,6).

Важнейшим следствием наличия полярного отображения проек­тивной плоскости является так называемый принцип двойственности проективной геометрии1). Этот принцип утверждает, что в форму­лировке любой теоремы проективной геометрии на плоскости можно заменить всюду слово ъточка* словом «прямая» и, наоборот-, выражение улежит на» выражением «проходит через», и наоборот-, новая теорема также будет справедлива, если только была справедлива первоначальная теорема. В самом деле, пусть мы имеем некоторую теорему проективной геометрии, относящуюся к расположению точек и прямых. Полярное отображение переводит выражающий эту теорему чертеж в новый чертеж, в котором роль точек уже будут играть прямые, а роль прямых точки; при этом точкам, принадлежащим одной определенной прямой /, будут отве­чать прямые, пересекающиеся в точке L, отвечающей прямой I. Этот новый чертеж будет выражать иную теорему, которую можно наз­вать «двойственной» первоначальной теореме. Ниже мы поясним эту общую схему конкретным примером.

Пример применения полярного отображения доставляет нам так называемая

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я