• 5

8.2. Неточечные преобразования в геометрии окружностей.

 Аналогична сказанному относительно аффинных преобразоваиий каждое круговое преобразование плоскости можно рассматривать как преобразование в мно­жестве окружностей и прямых линий, переводящее каждую окружность или прямую(которую можно также считать «окружностью бесконечно большого радиуса») снова в окружность или прямую Так из формул (9) и (9') § 3 (стр. 74) следует, что инверсию с центром в начале О (декартовых пря­моугольных) координат и степенью 1 можно описать как преобразование в множестве окружностей и прямых плоскости, переводящее:

а)         прямую a* + bt/ = 0, проходящую через начало координат О, в себя

б)         прямую 2ах + 2Ьу^\, не проходящую через О, в окружность (■**-(-у1) — 2ах — 2Ь(/»=0, проходящую через О (центр Q (а, Ь) этой окруж ности принадлежит перпендикуляру ОР, опущенному из точки О на пря­мую, причем OQ~20p ' РадиУс окружности равен Q0

в)         окружность (дг4 + {/г) — 2ах—2Ьу = 0, проходящую через О, в прямую 2ах -\-2Ьу—\, ие проходящую через О (перпендикуляр ОР, опущенный из О на эту прямую, принадлежит прямой 0Q, где Q (а, Ь) — центр окруж

(=2 ро))

ности; при этом ОР — -^^J ;

г) окружность (x' + j/*)— 2ах—2Ьу-\-с~=0, не проходящую через О, в окружность л:4 + уг—2-^- х—2 — у-\- — = 0, также не проходящую через

О (центры Q (а, Ь) и Q'      9ТИХ окружностей £ и £ лежат на

одной прямой с точкой О, причем отношение радиусов r= У а1 + Ь2—с и

, ЛГI а \г , ( Ь V Г г — у I ~ J -f-1 ~ J —— окружностей равно отношению длин отрезков

OQ и OQ', откуда следует, что О является центром гомотетии окружностей

£ и £ , а степени с и —точки О относительно окружностей £ и £ ')

взаимно обратны). Ясно, что круговые преобразования можно охаракте­ризовать и как преобразования в множестве точек плоскости, переводящие каждую окружность (к числу которых здесь причисляются и «окружности бесконечио большого радиуса» — прямые), понимаемую как совокупность точек (рис. 67, а), снова в окружность, и, с другой стороны, как преоб­разования в множестве окружностей (и прямых), переводящие совокупность окружностей пересекающихся в одной точке (рис. 67, б), снова в такую же совокупность окружностей При этом разумеется, мы должны рассматри­вать круговые преобразования как точечные преобразования, действующие в «расширенной» (круговой) плоскости.

До сих пор мы рассматривали лишь такие иеточечные преобразования, которые можно трактовать также и как точечные. Однако можно опреде­лить и такие преобразования в множестве прямых линий или в множестве окружностей на плоскости, которые не переводят совокупность пере­секающихся в одиой точке прямых (пучок прямых) или совокупность пересекающихся«в одной точке окружностей снова в такую же совокупность прямых или окружностей и которые поэтому никак нельзя рассматривать, как преобразования в множестве точек. Содержательные примеры преобра­зований такого рода доставляет теория окружностей2). В этой

') См. § 2 статьи «Окружности», стр. 454—461.

1) См. статью «Окружности».

теории изучаются так называемые осевые круговые преобразования, г. е.

преобразования в множестве прямых линий плоскости, переводящие сово купность касательных одной окружности £ снова в совокупность касатель­ных одной (вообще говоря, отличной от 21) окружности 2'. Совокупность пересекающихся в одной точке прямых эти преобразования, как правило, переводят в совокупность касательных некоторой окружности (таким обра­зом, эти преобразования «точку переводят в окружность»). Рассматривают­ся теорией окружностей и касательные круговые преобразования, переводя­щие окружность в окружность и сохраняющие касание окружностей. Сово­купность окружностей проходящи-х через одну точку, и совокупность

окружнгстей, касающихся одной прямой, они могут переводить в сово­купность окружностей, касакщихся одной окружности (таким образом, касательны круговые преобразования «точку переводят в окружность» и «прямую переводят в окружиость»)

Простейшим примером осевого кругового преобразования является гак называемое расширение. Как преобразование в множестве прямых, расширение Р на величину d определяется следующим образом: каждую прямую а расширение Р переводит в прямую а', параллельную а и удален­ную от а на расстояние d. Так как это определение не указывает, в ка­кую имеине из двух прямых, параллельных а и удаленных от а на рас­стояние d, переходит а, то здесь нужны еще некоторые дополнительные соглашения. Именно оказывается необходимым считать, что каждая пря­мая плоскости является направленной, те. что с обыкновенной прямой а совпадают по положению две прямые а, и аг, отличающиеся

Оо

о)

 

Рис. 67.

одна от другой направлением (направление на рисунках обычно обозна­чается стрелкой). Прямые а, и аг расширение Р переводит в разные прямые о, и аг, сдвигая каждую прямую на расстояние d вправо (если смотреть в направлении, указанном на преобразуемой прямой; см. рис. 68). Таким образом, расширение Р приходится рассматривать не как преобразо­вание в множестве обыкновенных прямых плоскости, а как преобра­зование в множестве иаправлениых прямых (осей). Ана­логично обстоит дело и при рассмотрении более общих осевых круговых преобразований, с чем и связано прилагательное «осевые» в названии этих преобразований.

Нетрудно понять, что пучок прямых расширение Р переводит в сово­купность касательных окружности 2 с центром в центре пучка и ра­диусом d (рьс. 69, q); этой окружности естественно приписать определенное направление, согласованное с напра­влением всех ее касательных (на ри­сунках направление окружности также указывается поставленной на окруж­ности стрелкой). Таким образом, есте­ственно считать, что расширение на величину d перрводит точки в окруж­ности радиуса d Направленную окруж­ность 2 на плоскости (задаваемую сово­купностью своих направленных каса­тельных) расширение Р переводит в концентрическую с 2 окружность 2', радиус которой равен r-\-d, или г — d, или d—г (рис. 69, б—г). Оказывается рИ1.      очень удобным считать, что радиус

окружности может быть и положитель­ным и отрицательным, причем первое означает, что окружность направлена против часовой стрелки, а второе — что она направлена по часовой стрелке; при этом направленная окруж ность полностью определится указанием своего центра и (положительного или отрицательного!) радиуса. При таком соглашении расширение пере- иодит окружность радиуса г в окружность радиуса r-\-d (см. рис 69, б—г\ отрицательный радиус имеют окружности 2 и 2' на рис. 69, в и окруж­ность 2 на рис. 69, г). Таким образом, расширение Р можно описать как преобразование в множестве направлгнных прямых плоскости, сдвигающее каждую прямую вчраво на расстояние d. При этом множество всех прямых, касающихся одной направленной окружности 2 (роль которой может играть и «окружность нулевого радиуса», так что мы имеем пучок схо­дящихся в одной точке прямых), переходит в множество прямых, ка­сающихся одной окружности 2'. т. е окружность переходит в окруж­ность. Но можно также опирать расширение и как преобразован /в в мно­жестве направленных о ружностей, переводящее окружность (положительного, нулевого или отрицательного!) радиуса г в концентрическую с исходной окружность радиуса r-\-d. Это преобразование переводит совокупность всех окружностей касающихся одной направленной прямой I, в совокуп­ность окружностей, касающихся другой прямой I', т. е. прямую оно переводит в прямую. Однако, как точечное преобразование рассматри вать расширение невозможно!

Неточечные преобразования плоскости также довольно часто могут оказаться полезными для решения конкретных геометрических задач на построение и на доказательство В качестве первого примера рассмот­рим здесь известную задачу о построении общих касательных к овум окруж­

 

ностям и радиусов г, и л,, где г, г2. Применим к чертежу этой задачи (рис. 70) расширение на величину г2; при этом окружность 22 мы будем считать направленной по часовой стрелке (имеющей отрицательный радиус —гг), так что расширение Р переводит 2г в точку — центр 2, этой окружности (именно в этом и заключается смысл применения расшире ния!) Окружность 2, перейдет в окружность 2,, концентрическую с 2,;

 

 

 

О)        6)

 

 

 

Рис. (i9.

при этом в зависимости от того, считаем ли мы 2, направленной также по часовой стрелке или против часовой стрелки, окружность 2, будет иметь радиус — г2 (рис. 70, а), ил! г, + гг (рис. 70, б). Общие касатель­ные окружностей 2, и 2г перейдут в касательные окружности 2,, прохо-

г

дящие через точку 2 ; их нетрудно построить (построение прямой, каса­тельной к данной окружности и проходящей через заданную точку, мы

считаем известным). Искомая же касательная t окружностей 2, и най­дется как прямая, которую расширение Р переводит в проходящую через касательную V окружности 2,; она параллельна V и удалеиа от V на расстояние г, (причем V расположена справа от направленной пря­мой I)

 

 

 

Рис 70

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я