• 5

§ 8. Неточечные отображения

8.1. Примеры неточечных преобразований. К понятию точечного отображения мы пришли, считая, что аргумент х и значение у функ­ции _у=/(х) являются не числами, как это чаще всего приходится считать, а точками. Столь же законно, однако, считать, что в обо­значении функции у=/(х) под х и у понимаются не точки, а иные геометрические объекты, возможно даже объекты разной природы. На этом пути мы приходим к более общему понятию (не обяза­тельно точечного!) геометрического преобразования, например преобразования а' = Ф(а) в множестве прямых линий, переводящего каждую прямую а в новую (или ту же самую) прямую а', или пре­образования 1' = Ф(2) в множестве окружностей, переводящего окруж­ность 2 в окружность 2'; можно также рассматривать, скажем, отображения, переводящие окружности в точки (например, 0 = Ф(5), где О есть центр окружности S), точки в прямые (ср. ниже стр. 128)

переводит все точки «бесконечно удаленной» прямой хо = 0 в центр инверсии 0(0, 0, 1), а гиперболическая инверсия (23) переводит все точки «беско­нечно удаленной» прямой х, = 0 в одну «бесконечно удаленную» точку Л, (1, 0, 0) (отвечающую направлению оси инверсии о), а все точки оси о инверсии, имеющей уравнение хг=0 — в другую «бесконечно удаленную» точку Л, (0, 1, 0) (отвечающую перпендикулярному о направлению) (Мы отмечали выше, что желание рассматривать инверсию или гиперболическую инверсию как преобразования плоскости приводит к необходимости совсем иного пополнения плоскости «идеальными» элементами, отличного от того, с которым связано понятие проективной плоскости.] Можно дока­зать, что единственными бирациональными преобразованиями, областью дей­ствия которых служит вся проективная плоскость, являются линейные- преобразования (20). Аналогично этому единственными преобразованиями (114), областью действия которых служит круговая плоскость, задаваемыми рациональными функциями F (?) комплексного переменного г (см. выше, стр. 78), являются дробно-линейные преобразования (16).

') См сноску1) на стр.117.

') См. статью о конических сечениях в следующей книге ЭЭМ.

 

b'

Рис. 63.

или окружности в треугольники. Приведем здесь несколько приме­ров таких неточечных преобразований и отображений.

1°. Ясно, что каждое аффинное преобразование плоскости, пере­водящее прямую линию снова в прямую, можно рассматривать

как преобразование в множестве прямых. Так, сжатие к точке О (гомотетию) с коэффициентом k можно рассматривать как пре­образование а' = Ф(а), переводя­щее каждую прямую а в прямую а' того же направления, расстояние которой от центра О преобразо­вания равно А-кратному расстоя­нию прямой а от точки О (рис. 63; при этом проходящие через О прямые переходят в себя). Сжатие к прямой о с коэффициентом k можно рассматривать как преобра­зование а'=Ф(а), переводящее параллельную о прямую а, в пря­мую а[ того же направления, расстояние которой от о равно ft-кратному расстоянию прямой а, от о (при этом прямая о переходит в себя), а прямую а2, пересекающую о,—в прямую а'г, пересекающую о в той же точке, что и а2 и образующую с о угол, тангенс которого в k раз боль­ше (т. е. А-кратен) тангенса угла, образованного прямыми а2 и о (рис. 64). При этом, если раньше мы характеризо­вали аффннные преобразо­вания как такие (точеч­ные!) преобразования, ко­торые переводят прямую линию (рассматриваемую как прямолинейный ряд точек; рис. 65,а) снова в прямую, го теперь мы можем описать их как такие преобразования в

множестве прямых линий плоскости, которые переводят каждую точку (под которой мы теперь понимаем пучок пересекающихся в ■одной точке прямых; рис. 65.6) снова в точку (другими словами, пучок переводят в пучок).

2°. Также и гомологию Г (см. выше стр. 110) можно описать как преобразование в множестве прямых линий плоскости. А имен­но гомологию с осью о и центром О, переводящую некоторую пря­мую т в прямую т', пересекающую ось о в той же точке, что и

 

Рис. 6

 

т, можно определить как преобразование, которое переводит про извольную прямую а плоскости в прямую а', пересекающую ось о в той же точке, что и а (параллельную о, если а || о) и . . г            проходящую через точку А' пе-

у          ресечения прямой т' с прямой OA,

Рис. 65.

где А есть точка пересечения прямых а и т (рис. 66; если пря­мая Ь пересекает ось о в той же точке, что и т то для построения прямой Ь' — Г (Ь) мы заменим т и т' парой прямых а и а', постро­

 

енных по описанному правилу и пересекающих ось о в иной точке). При этом гомология Г является преобразованием множества всех пря­мых проективной плоскости; изображенную на рис.66 прямую q она переводит в несобственную прямую. Преобразование Г обладает тем свойством, что пучок прямых, пересекающихся в одной (собственной или несобственной) точке, оно переводит снопа « пучок пряных, пересекающихся в ооной (собственной или несобственной) точке.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я