• 5

7.6. Бирациона.1 ы,ые преобразования проективной плоскости.

 Идя даль­ше по пути, намеченному в конце § 3 можно также определить бира­циональные преобразования проективной плоскости; эти преобразования характеризуются тем, что фигурирующие в их аналитической записи (19) функции ф(х,, х2, ж,), (дс,, х2, *„), %{х,, х2, х0) суть рациональные функции переменных х,, х2, х, и что тем же свойством обладают и обратные к ним преобра ования (ср. выше, стр. 79). При этом функции ф, ф и х можно даже считать целыми рацио­нальными, ибо эти три функции можно одновременно умножить на любое выражение и таким путем избавиться от знаменателей дробей. Последнее обстоятельство позволяет классифицировать бирациональные преобразова­ния проективной плоскости по степеням функций ф, ф, х самыми просты­ми бираииональными преобра.ованиями являются линейные (где функ­ции ф ф, х линейны); затем идут квадратичные преобразования (функции ф ,ф, X второй степени), кубические преобразования (функции ф, ф, х третьей степени) и т. д. ').

О геометрическом смысле линейных (проективных) преобразований мы уже говорили Примером квадратична о преобра ова-ния может служить ин­версия (7) или гиперСолическая инверсия (8) В однородных координатах можно эти два последних преобразования записать так:

Xj          ^XjXq,

xo = x,+xt

(22)

') Степени функций ф, ф, х не могут быть различными так как необ­ходимо, чтобы при умножении координат х,, х2, а, на лкхой множитель а все функции умножались на один и тот же множитель т ( =т о)).

120

rFOMETPH4FCKHF ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

соответственно

j

2 =

 

(ср. эти формулы с (7) и (8)) стр. 73)*). Эти примерь являются достаточно характерными: можно показать, что каждое квадратичное преобразование проективной плоскости можно представить в виде ЛГ, где Л есть линейное

О

 

Рис. 62

') Строго говоря, ии инверсия, ни гиперболическая инверсия ие являются преобразованиями проективной плоское ги: инверсия (22)

преобразование (сводящееся, как мы знаем, к гомологии1)), о X—симметрии относительно окружности (инверсия), или сим иетрия относительно пары парал­лельных прямых (гиперболическая ииаерсия), или же симметрия относительно (равнобочной) гиперболы или параболы При этом симметрия относительно гиперболы или относительно параболы определяется в точности так же, как и симметрия относительно окружности: каждую внешнюю по отиоше нию к соответствующей кривой К точку Л она переводит в точку А' пере­сечения проходящего через А диаметра кривой К (т. е. прямой, соединяющей точку А с центром О гиперболы или параллельную оси параболы1)) с прямой, соединяющей точки Р и Q прикосновения с кривой К проведен­ных к К. из точки А касательных, а точку А' переводит в А; точки кривой К при симметрии относительно К остаются на месте (ср. рис. 62,а.б с рис. 9 иа стр. 56). Геометрическое описание всех кубических преобразований плоскости (а тем более произвольных бирациональных преобразований), аналогичное этому описанию квадратичных преобразований, до сих пор неизвестно.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я