• 5

2.3. Непрерывность у Евклида и его предшественников

Сле­дует отметить, что хотя первые определения Евклида и носят следы атомистических представлений Пифагора и Демокрита, сам Евклид не разделял этих представлений. Евклид считал, что, например, лю­бой отрезок можно с помощью его идеальных инструментов делить пополам неограниченное количество раз. Линии, поверхности и тела Евклид считал непрерывными и, в частности, неоднократно пользо­вался тем, что две прямые линии или окружности пересекаются, когда две точки одной из этих линий лежат по разные стороны от другой. Пифагор и Демокрит не владели понятием непрерывной величины; для них линии, поверхности и тела были совокупностями отдельных, дискретных точек. Аристотель определил непрерывную величину как такую величину, что если разбить ее на две части, эти части будут иметь общую границу (ср. в связи с этим текст на стр. 31). У Евклида нет этого замечательного определения, так как его определения, как мы отмечали, копируют старые, доаристо- гелевские образцы. Но Евклид, несомненно, считает линии, поверх­ности и тела непрерывными в смысле Аристотеля.

Определив непрерывную величину, Аристотель сделал вывод, что если дискретную величину можно рассматривать как множество то­чек, то непрерывную величину ни в коем случае нельзя рассматри­вать как множество неделимых элементов. Он, по-видимому, исходил из того, что если точки, как он считал, не имеют размеров, то две точки, непрерывно прилегающие друг к другу, сливаются в одну точку и, значит, тоже не имеют размеров; то же происходит и с тремя и с любым количеством точек, причем это утверждение, вер­ное для конечного числа точек, Аристотель распространял на беско­нечные множества точек. Поэтому Аристотель представлял себе линии не как множества точек, как Пифагор и Демокрит, а только как с места», где могут находиться точки. Отсюда и происходит наш термин «геометрическое место точек», который мы применяем к линиям или поверхностям, определенным теми или иными услови­ями: Аристотель и последующие математики не могли определить

J.

эти линии или поверхности как множества точек, связанных данными условиями'). Евклид разделял точку зрения Аристотеля о том, чго непрерывная величина не может состоять из неделимых.

Заметим, что если у Пифагора и Демокрита арифметика была ели га с геометрией, Евклид всячески подчеркивает, что это прин­ципиально различные науки и, например, изложив теорию пропорций непрерывных величин в V книге, доказывает снова те же теоремы дли целочисленных пропорций в VII книге.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я