• 5

7.5.  Координаты в проективной плоскости.

 Поскольку проективная плоскость является совсем иным геометрическим образом, чем обычная (евклидова) плоскость, то для проективной плоскости оказывается непри-

') Предоставляем читателю самому разобрать случай, когда A'B'\\C'D' (рис. 61 .в).

г) Можно доказать, что всякое проективное преобразование плоскости можно осуществить с помощью подходящим образом подобранной гомологии, сопровождаемой некоторым преобразованием подобия (ср со сказанным на стр 93 об аффинных преобразованиях)

3) По поводу понятия проективной плоскости можно повторить почти все, сказанное выше (стр. 58—59) о понятии круговой плоскости

менимым обычный способ введения координат. Однако систему коорди нат, годную в случае проектисной плоскости, оказывается возможным получить с помощью небольшого видоизменения обычной конструкции: достаточно ааменить декартовы координаты х, у однородными коор­динатами х„ хг, х0, связанными с * и у соотношениями

* = A y =         ;18)

При этом, умножив все три координаты х„ хг, х0 на одно и то же число g^O, мы получим координаты той же самой точки (ибо декартовы координаты * и у при этом не изменятся); таким образом, однородные коор динаты определяются, как говорят, «с точностью до произвольного множи­теля Q». Если х, не равно нулю, то тройка координат (*,, *2, *,) отвечает (обыкновенной) точке А плоскости, декартовы координаты которой определя­ются по формулам (18). Если же х„=0, то формулы (18) теряют смысл. В случае, когда по крайней мере одно из чисел х,, х2 отлично от нуля, считают, что координаты (*,. *2, 0) отнечают «бесконечно удаленной» точке А' проективной плоскости (по формулам (18) этой точке приписыва­ются «бесконечно большие» декартовы координаты х и I/, но определенное

отношение ^            • заДа1°щее углоной коэффициент «проходящих» через

эту точку Л'прямых). Наконец, координатам х, =x2 = x^t=0 не отвечает никакая точка проективной плоскости, т. е. такие значения координат не

допускаются (ибо нельзя говорить и об «угловом коэффициенте» — = —— ,

* . xi

отвечающем точке (0, 0, 0))

Введение однородных координат позволяет записать любое отображение, область определения и область значений которого содержатся в проектив­ной плоскости, уравнениями ьида

*,=Ф(*|. *2' *))•

*o = X(*i. хг. *о) (точнее бы было оворить об уравнениях

e*,=<p(*i. *2. «о).

С*0 = Х(*1. *«• *«).

(19)

(19а|

где р^О—произвольное число; при этом функции ф(дг,. х2, х„), ф(*,, х2, х0), *о) должны быть таковы, что при замене дг„ *2, х,, на ах„ ох2, ах„, где оф0, значения этих функций должны умножаться на некоторое число т^О, зависящее от о. но одинаковое для всех трех функций)

Особую роль среди всех отображений (19) (или (19а)) играют линей­ные отображения проекти ной плоскости

QJC, =ахх, + Ь,хг + c,*0. е*2 = а2х, + Ь2х2 + с2*4.

в том случае, когда эти отображения взаимно однозначны (т. е. когда из формул (20) можно также по * , л\, х,. определить х„ хг, х, с точностью до общего множцтеля), они являются проективными преобразова­ниями. Доказательство этого почти не отличается от доказательства того, что линейные преобразования обычной плоскости являются аффинными преобразованиями (ср. выше, стр. 76 и след.). Оно использует лишь то обстоятельство, что каждая прямая проективной плоскости в однородных координатах записывается линейным уравнением

Ах, + Вх2 + Сх,= 0;  (21)

так, прямая

Ах + Ву + С = 0 или            (21а)

D         D

д

с угловым коэффициентом k—  в однородных координатах (18) запи-

В

сывается урарнением (21) (ему удовлетворяет также «бесконечно удален ная» точка (х,, х2, 0) = (б, —А 0), через которую «проходит» прямая (21а)), а «бесконечно удаленная» прямая проективной плоскости записывается простым уравнением х, = 0. М( жно доказать, что и, обратно, каждое про­ективное преобразование (проективной) плоскости в однородных координа­тах записывается форл илами типа (20)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я