• 5

7.4.  Проективные преобразования и проективная геометрия.

 Го

мология представляет собой частный случай проективного преобразо­вания— так называют преобразования проективной плоскости, обладающие тем свойством, что каждую прямую (к числу кото­рых причисляется и несобственная прямая) они переводят снова в прямую2). Таким образом, определение проективных преобразований отличается от определения аффинных преобразований лишь тем, что их областью действия является не обычная (евклидова), а проек­тивная плоскость*). Ясно, что совокупность всех проективных преобразований (проективной!) плоскости составляет группу — до­казательство этого фактически не отличается от указанного на стр. 103 доказательства того, что образуют группу аффинные преобразования. Ветвь геометрии, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при проективных преобразованиях, называется проективной геометрией. Примерами теорем проективной геометрии могут служить теоремы, доказанные нами с помощью гомологии — нетрудно понять, что утверж­дения этих теорем сохраняют свое содержание, если подвергнуть чертеж теоремы произвольному проективному преобразованию. На этом обстоятельстве и базировалось выше применение гомологии к дока­зательству теорем. Преобразовав чертеж теоремы при помощи подходящим образом подобранной гомологии, мы существенно упро­стим его, сведя тем самым рассматриваемую теорему к более про­стому частному случаю того же утверждения, причем нам, оказы­вается, достаточно доказать утверждение лишь в этом частном случае.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я