• 5

7.3. Применения гомо логии к решению задач.

 То обстоятельство, что гомоло­гия переводит пересекаю­щиеся прямые в параллель­ные, может быть использо­вано для решения многих геометрических задач на доказательство и построе­ние. В качестве примера докажем следующую теоре­му: пусть даны две прямые 1Л и 1г и точка Q вне их; через Q проводятся всевоз­можные пары прямых а. Ь, пересекающих и 1г в точ­ках 4,, А2, соответствен­но В,, В2 и точки А,. В2 и А2. В, соединяются между собой (рис. 60, а); геометри­ческое место точек Р пересечения прямых А,В2 и АгВ, представ­ляет собой прямую р, проходящую через точку О пересечения /, и 1г (параллельную /, и /2, если /, и 1г параллельны). Для доказа­тельства произведем гомологию Г, у которой ось, центр и пару то- «ек М и М'= Г (Ж) подберем так, чтобы роль прямой q рис. 57 играла прямая OQ (нетрудно убедиться, что так выбрать гомологию

б)

 

 

 

Мс

 

 

/

 

V

всегда возможно). При этом рис. 60, а перейдет в рис. 60, б, на ко­тором все четырехугольники А,В,В2Аг являются параллелограммами и геометрическим местом центров Р* этих параллелограммов является средняя линия р' — полосы, образованной прямыми /' и /'. А так как

 

 

 

Рис. 60.

гомология переводит прямые в прямые и параллельные прямые (прямые, пересекающиеся в «несобственной» точке) — в прямые, пересекающиеся в одной точке, то гомология Г-1 (см. стр. 113) переводит параллель­ные прямые /,, /2 и р' в прямые /,, /2 и р, пересекающиеся в од­ной точке О.

Вот еще один пример: докажем, что если произвольный четырехугольник ABCD разбит прямой MN, пересекающей его стороны АВи CD на два четырех­угольника AMND и BMNC, то moiKu Р, Q, R пересечения диагоналей трех к*

четырехугольников AMND, BMNC и ABCD лгжат на одной прямой (рис. 61 ,а)') Элементарное доказательство этой интересной теоремы очень сложно однако если использовать преобразование гомологии, то ее доказать легко Преобразуем рис. 61,а при помощи гомологии Г, выбранной так, чтобы пря мая PQ играла роль прямой q рис 57 (отметим, что мы пока не знаем

 

а)

 

 

 

Рис. 61

принадлежит ли точка R ti и же прямой). При этом мы придем к (совсем новому!) рис. 61,6, где A'N'\\D'M' (ибо точка Р пересечения AN и DM переходит в «бесконечно удаленную» точку) и B'N'^C'M* (ибо переходит в «бесконечно удаленную» точка Q рис. 61 ,а). А теперь из подобия тре­угольников О A'N' и OM'D', ОС'М' и ON'В' (где О—точка пересечения

') Если прямые АО, ВС и MN проходят через одиу точку, то наше утверждение вытекает, очевидно, из дока анной только что теоремы; р этом частном случае прямая PRQ проходит через точку пересечения прямых А В л CD:

прямых А'В' и C'D' ')) имеем

ОА__ОМ_ ON _ ОС ON' OD' OB' ~~ ОМ' Перемножая эти два равенства, получаем

OA' _ ОС О В' ~ 0D''

откуда вытекает, что А'С' || B'D'. Следовательно, точка R пересечения прямых АС и BD рис. 61,о переходит в «бесконечно удаленную» точку рис. 61,6 и, значит принадлежит «прямой q> нашей гомологии—прямой PQ1

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я