• 5

7.2. Проективная плоскость.

 Затруднения, связанные с тем, что гомология не является преобразованием, могут быть устранены, если считать, что каждую точку А прямой q гомология Г переводит в некоторую «идеальную» или «несобственную» точку А'\ при этом придется считать, что параллельные между собой прямые, в которые переходят прямые, пересекающиеся в точке А, «сходятся» в этой фиктивной точке А' (точку А часто называют также «бесконечно удаленной» точкой ')). При этом естественно условиться, что все «несобственные» или «бесконечно удаленные» точки плоскости при­надлежат одной «несобственной» или «бесконечно удаленной» пря­мой q', в которую переходит при гомологии прямая q. К этим «несобственным» точкам плоскости надо добавить еще одну «несоб­ственную» точку Z, в которой «сходятся» параллельные между собой

') Это связано с тем, что, как легко видеть, при стремлении переменной точки А к прямой q образ Г (Л) этой точки неограниченно удаляется.

 

прямые о и q (а также и все параллельные им прямые); при этом естественно считать, что T(Z)=Z.

Плоскость, дополненная фиктивной «бесконечно удаленной» пря­мой q , состоящей из всех добавленных к плоскости «несобственных» точек, называется проективной плоскостью'). Заметим, что каж­дой точке проективной плоскости отвечает пучок сходящихся в ней прямых, пересекающихся в этой точке, если точка «собственная», и параллельных между собой, если эта точка «несобственная» (рис. 58). Отметим еще, что на проективной плоскости любые две различные прямые имеют ровно одну точку пересечения (собствен­ную или несобственную).

После такого расширения плоскости введением «несобственных» точек гомология становится преобразованием, областью действия которого является проектив­ная плоскость. Точки пря­мой q переходят при гомоло­гии Г в «бееконечно удален­ные» точки (т. е. Г(q) = q'); аналогично каждая «беско­нечно удаленная» точка В' (задаваемая, скажем, пучком параллельных прямых) пере­ходит в некоторую точку В прямой <7, (т. е r(<7') = <7t). Разумеется, и произведение гомологий, взятых в любом числе, и преобразование, обратное гомо­логии, являются преобразованиями проективной плоскости. (Преобра­зование Г-1, обратное гомологии Г, с центром О и осью о, перево­дящей точку М в точку Af = Г(Л1), является, очевидно, гомологией с теми же центром О и осью о, переводящей точку М' в точку М^Г'ЧМ'); см. рис. 56.)

Можно также рассматривать гомологии, отвечающие случаям, когда ось гомологии или центр гомологии (или и то и другое вместе) явля­ются «бесконечно удаленными». Нетрудно, например, убедиться, что гомология с несобственной осью о и обыкновенным («собственным»)

') Это название связано с тем, что такое же расширение плоскости введением (несуществующих!) «бесконечно удаленных» точек и прямой естественно возникает в задачах, связанных с центральным проекти­рованием плоскости л на другую плоскость л' из некоторого центра О. Здесь также на плоскости л найдется прямая q, точки которой не проекти­руются ни в какие точки плоскости л',—это будет линия пересечения плоскости л с параллельной я' плоскостью, проходящей через центр проектирования О. С другой стороны, на плоскости л' найдется такая прямая 9,, в точки которой не проектируются никакие точки плос­кости л,—линия пересечения плоскости п' с параллельной л плоскостью, проходящей через О.

s Энциклопедия, ки. 4

 

 

центром О представляет собой гомотетию с центром О и коэффици-

0М' /    СП

ентом —- (рис. 5У, а; впрочем, эта гомология несущественно отли­чается от гомотетии несколько «большей» областью действия). Да- У            лее, гомология с несобствен-

"'/         ной осью и несобственным

центром представляет собой параллельный перенос в на­правлении прямой, идущей з центр гомологии, на отре­зок ММ' (т. е. перенос на вектор ММ'; рис. 59, б). Сжатие к прямой о также есть частный вид гомологии (центр О является несоб­ственной точкой, соответ ствующей пучку прямых, перпендикулярных оси о; рис. 59, в).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я