• загрузка...
    5

§ 7. Группа проективных преобразований

загрузка...

7.1. Гомология. Наш рассказ о геометрических преобразованиях был бы неполным, если бы мы не упомянули, хотя бы кратко, о проективных преобразованиях, совокупность которых составляет группу проективных преобразований. Эта группа, одна из важней­ших для геометрии, определяет своеобразную «геометрию», носящую название проективной геометрии и тесно связанную как с евкли­довой и аффинной геометриями, так и с неевклидовыми геометриями. Проективной геометрии посвящено много обстоятельных учебных руководств8); здесь же мы лишь бегло очертим ее предмет.

Знакомство с проективными преобразованиями мы начнем с одного интересного преобразования — гомологии, определение которого мы первоначально сформулируем намеренно неточно. Гомологией®) с осью о и центром О называется преобразование плоскости, переводящее прямые снова в прямые и оставляющее на месте

') «Геометрия» пространства-времени, в котором мы живем, представ­ляет собой одну из так называемых неевклидовых геометрий, о которых упоминалось в подстрочном примечании на стр. 103; эта «геометрия» (независимо от того, кладутся ли в основу ее построения преобразования Галилея или преобразования Лореица) отлична как от обычной геометрии Евклида, так и от неевклидовой геометрии Лобачевского. По этому поводу см. в кн. V ЭЭМ статью «Неевклидовы геометрии», в которой будет под­робнее изложен вопрос о геометрическом истолковании физических законов.

г) См., например, Г. Б. Г у р е в и ч. Проективная геометрия, М., Физ­матгиз, 1960; X. С. М. Кокстер, Действительная и проективная плос­кость, М Физматгиз, 1960

') От греческих слов — одинаковый и Xoyog, — смысл.

каждую прямую, проходящую через точку О, и каждую точку, принадлежащую прямой о. Отсюда следует, что прямую /, пере­секающую ось о в точке Q, гомология Г переводит в прямую /', пересекающую ось о в той же точке (ибо Г(0 — Q), а каждую параллельную оси о прямую т гомология переводит в прямую т', также параллельную прямой о (ибо в точку пересечения прямых т и о могла бы перейти лишь та же самая точка, а прямая т не пересекает о).

Для того чтобы построить точку А' в которую гомология Г переводит произвольную точку А плоскости, достаточно знать образ М'=Т(М) какой-либо точки Л1 (рис 56; точк:> /V должна ле­жать на прямой ОЛ1, ибо эга прямая при гомологии переходит в себя). В самом деле, если пря.   ^

мая AM пересекает ось    //\

гомологии о в то iKe Q, то            /gJ ^

она перейдет в прямую QM'        д / м! \ \

(а если AtM\\o, то она пе- М         \\

рейдет в параллельную оси        Д, ,

о прямую RM', проходящую /?    'р^       N V

через точку М') Так как,      /           хч

далее, искомая точка А' (или                  j_         ^

А'х )лежит, кроме того, на пря-   /           Р Q

мой OA (соответственно ОА\),    рис

то она может быть найдена как

точка пересечения прямых OA и QM' (или ОАх и RM ). Это построе ние не проходит в том случае, если исходная точка В лежит на прямой ОММ', но в таком случае мы можем построить сначала образ A'(А) какой-либо другой точки А н затем построить образ В' = Г(Д) точки В, исходя не из пары точек М, М\ а из пары точек А, А'. Разумеется, следовало бы еще показать, что наше построение приводит к одному и тому же образу В' точки В независимо от выбора точки А и что определенное изображен­ным на рис. 56 построением преобразование Г в самом деле обла­дает всеми теми свойствами, выполнения которых мы требовали от гомологии (в частности, что Г переводит прямые в прямые); мы, однако, примем это на веру, предоставив читателю самостоятельно провести соответствующие доказательства Л1А /V10

Заметим, что если ~щ-= мм> (и только в этом случае), то

треугольники МОА и MM'Q будут подобны и прямая QM' || OA не пересечет OA (рис. 57). Таким образом, точке А, принадлежащей прямой q, гомотетичной о с центром гомотетии М и коэффициентом

МО      . ..

гомотетии ТТТТ7 не отвечает никакая точка плоскоеги! Иначе говоря, ММ

за область определения гомологии Г следует принять п л ос- костьс исключенной прямой q. Прямые, пересекающиеся в некоторой точке А, лежащей на прямой q, переводятся гомологией в непересекающиеся (параллельные!) прямые; при этом совокупность псех проходящих через точку А прямых переходит в пучок (со­вокупность) параллельных между собой прямых (см. рис. 57).

п          М'В' М'О

С другой стороны, если точка В такова, что j^rpr ~ м'М

где R — точка пересечения М'В' с о, то OB'\\RM и, следователь­но, не существует точки В, переходящей в точку В'. Отсюда вытекает, что область значений гомологии Г представляет собой плоскость с исклю­ченным из нее геометри­ческим местом всех таких точек В\ т. е. плос­кость с исключен­ной прямой дг, гомо­тетичной о с центром гомотетии ЛГ и коэффи- М'О

циентом гомотетии ,, ,. .

М М

Таким образом, гомология не является преобразованием пло­скости, поскольку ее область определения и область значений не совпа­дают (в этом и заключается та нестрогость в определении гомологии, о которой мы упомянули вначале).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я