• 5

6.4. Группы преобразлваний в физике.

 В заключение настоящего параграфа отметим, что определение геометрии по Клейну, выдвигающее на первый план понятие о геометрических преобразованиях, которые сохраняют интересующие нас свойства фигур (т. е. играют роль «движе­ний» соответствующей «геометрии»), находит своеобразное отражение и в физике. Вспомним так называемый принцип относительности Галилея, играющий фундаментальную роль в механике и утверждаю щий, что никакие фчз 1ческие экспер/менты, производимые внутри мехи ни - ческой с /стемы, не могит позволить оэнаружить равномерное и прямолиней-

преобразоваииями Галилея). Иными словами, «физические свой ства» тел можно описать как такие свойства, которые не меняются при преобразованиях Галилея (ср. с определением «геометрических свойств» как таких, которые сохраняются при движениях, стр 99).

Принципу относительности Галилея можно придать «геометризирован- ную» форму, совершенно непосредственно связывающую его с определением геометрии по Клейну. Предположим, для простоты, что мы ограничиваемся физическими процессами, которые можно считать происходящими в одной плоскости, например изучаем движения физических тел на ограниченном участке земной поверхности, который можно мыслить себе плоским. Рассматриваемую плоскость мы отнесем к декартовым прямоугольным координатам (х, у)\ при этом, скажем, механическое движение материаль-

') См. в кн. V ЭЭМ статью «о равносоставленности многоугольников и многогранников Тот факт, что эта теорема сохраняет силу с геометрии группы 3, составляет содержание так называемой теоремы Хадвигера — Г л ю р а В «геометрии» груп .ы $ теорема Бойяи — Гервина заменяется сле­дующей: для того чтобы два равновеликих многоугольника М и М' были р^вносист :влен и, неоЗход imo и достаточно, чтобы сумма (ориентированных!) дл in сторон М. параллельных каждой прямой / плоскости, была равна сумме (ориент I рованных) длин параллельных I сторон М' (см. В. Г. Болтяи с к и й, Равновеликие и равносоставленные фигуры М.. Гостехиздат, 1956; здесь используется то, что в «геометрии» группы $ можно для отрезков любого фиксированного направления / ввести понятие «длины отрезка»).

 

 

Рис. 54.

ное движение этой системы. В силу этого принципа про­изводя какие угодно опыты, скажем, на корабле, двигаю­щемся в постоянном направл! нии с неизменной скоростью, мы не сможем обнаружить ни каких эффектов, обязанных своим происхождением движе­нию корабля. Из принципа относительности Галилея еле дует, что все изучаемые физи­кой свойства сохраняются при «преобразованиях» физической системы, состоящих в прида­нии ей постоянной по величине и направлению скорости (эти «преобразования» называются

ной точки будет задаваться формулами, указывающими закон изменения во времени координат точки

*=/(<). 1 v=g(0, I

где t—время. Совершенно ясно, что переход к иной системе координат никак не может отразиться на содержании физических законов, которые, следовательно, должны одинаково записываться в координатах (*, у) и в координатах (х', у'), получающихся при произвольном повороте осей координат и сдвиге начала координат (рис. 55). Нетрудно убедиться что переход от координат (х, у) к координатам (х\ у') задается формулами

x'=xcosa—vsiiia+a, |

> (*)

y"=*sina+(/cosa + b, J

в которых а обозначает угол, образованный осью * с осью х', а а, Ь — координаты начала О си­стемы координат (х, у) в системе (х',у'У)\ поэтому любое предло­жение, имеющее физический            Рис. 55. смысл, должно сохранять свою

форму при преобразовании (*). Принцип же относительности Галилея утверж­дает. что, более того, также и в том случае, если начало и оси системы коор­динат (х', у') движутся равномерно и прямолинейно по отношению к системе координат х, у, то и тогда все физические процессы будут записываться в координатах (х', у') и в координатах (х, у) совершенно одинаково. Но в том случае, когда начало О' координат (*', у') двигается со скоро­стью v по прямой, образующей с осью х угол р (см. тот же рис. 55), связь между координатами (х', у') и (х, у) будет записываться формулами

х' —х cos a—и sin a + cos p • vt + a, y' — x sin a + у cos a + sin P -vt +b;

таким образом, все имеющие физический смысл явления должны сохранять свою форму при преобразованиях (**). Учитывая еще, что в последние формулы входит также и время t и что выбор того или иного начала отсчета времени никак не может отразиться на физической сущности какого либо процесса, мы можем переписать формулы (**) в следующем несколько более полном иде:

x'=xcosa—у sin a + cos p-t'<+о, ]

(/' = xsina-|-ycosa + sinP-i!f+ t>, > (***)

f'= t+d, )

здесь d есть время старого начала тсчета времени в новой системе отсчета. Формулы (***) и описывают математически преобразовиния Галилея; прин­цип относительности Галилея утверждает, что физика (точнее — механика), изучающая лишь движения в плоскости, может '"ыть определена как наука о свойствах трехмерного «мира» (пространства — времени) (х, у, I),

 

 

') См. ЛЮсОИ курс dHd.lHr.i'icCKOrf ГСОМсТрИН.

сохраняющихся при преобразованиях (***). Поскольку преобразования Галилея (***), как легко показать, образуют группу, то это описание отождествляет механику плоских движений с некоторой «геометрией» трех­мерного пространства, определенной заданием группы (***) «движений»(').

Заметим еще, что современная физика заменяет принцип относитель­ности Галилея так называемым принципом относительности Эйнштейна, лежащим . основе (специальной) теории относитель­ности; это приводит к необходимости заменить преобразования Галилея (***) более сложными преобразованиями, которые называются преобра­зованиями Лоренца Преобразования Лоренца зависят от некото­рого параметра с (физический смысл которого расшифровывается теорией относительности: с есть скорость света в пустоте); при с—► оо они пере­ходят в преобразования Галилея. Преобразования Лоренца также образуют группу; таким образом, переход от классической механики Галилея и Ньютона к теории относительности Эйнштейна и Пуанкаре равносилен изменению взгляда на «геометрию» окружающего нас мира, причем эта «геометрия», в полном согласии с точкой зрения Клейна, задается ука­занием группы преобразований, сохраняющих вид физических законов').

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я