• 5

6.3. Различные геометрии. Аффинная геометрия.

 И» приведен­ного выше определения геометрии вытекает, что можно построить очень

') Ср. также стр. 27—28 этой книги ЭЭЧ.

1) В Германии долгое время существовал обычай, согласно которому кандидат на замещение профессорской должности должен быт выступить перед Ученым советом с лекцией на своботнп (чбтчнную им тему; на осно­вании этой лекции Ученый совет делал заключение о во;можности допущения данного лица к профессуре.

В 1854 г. другой выдающийся немецкии математик Бернгард Р и м а н точно так же выступил перед Ученым советом Гетингенского университета с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», в которой изло­жил свою концепцию геометрии, явившуюся, по существу, первым общим определением геометрической науки (отличным от оолее позднего onpeje.ie- ния Клейна). Взглядов Римаиа на геометрию, не связанных с понятием геометрического преобразования, мы здесь коснуться не можем (см. по втому поводу статью о неевклидовых геометриях в ^ледующен книге J JM).

*) См. работу Ф. Клейна [1J, цитированную в конце статьи.

много разных «геометрий» — столько же, сколько имеется разных групп преобразований; лишь одной из них является обычная геомет­рия Евклида, изучаемая в средней школе. Мы уже говорили в на­чале этого параграфа о том, что геометрия (обычная, евклидова) изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях. Этот взгляд на геометрию вполне согласуется с приведенным выше определением Клейна, ибо совокупность 2) всех движений плоскости является группой. В самом деле, произведение двух любых движений снова является движением; преобразование, обратное некоторому движению, само является движением; движением является также и тождествен­ное преобразование (все это-непосредственно следует из определения движений). Другой пример группы преобразований мы получим, рас­сматривая совокупность (S всех преобразований подобия. Как мы уже отмечали выше, геометрия, определяемая группой движений несколько отличается от геометрии, определяемой группой © преоб­разований подобия, хотя эти геометрии очень близки друг другу. \\ожно сказать, что предмет школьного курса геометрии представ­ляет собой «переплетение» этих двух родственных геометрий: геомет­рии группы 2) и геометрии труппы © Выбирая в качестве 0 группу преобразований, отличную от группы движений (или от группы пре­образований подобия), мы придем к иной математической дисцип­лине к новой, «не евклидовой» геометрии').

Нетрудно понять, что совокупность 3( всех аффинных преобра­зований плоскости (см. стр. 62) образует группу. В самом деле: 1° тождественное преобразование плоскости, очевидно, переводит каждую прямую линию снова в прямую (в ту же самую!) и, значит, является аффинным преобразованием; 2° если преобразование Ф переводит каждую прямую I снова в прямую /', то и обратное пре­образование Ф-1 переводит прямую в прямую (/' в /), т. е. преоб­разование, обратное аффинному, также является аффинным; 3° если преобразование Ф переводит каждую прямую I в прямую /' и пре­образование Y также переводит прямую в прямую (/' в /"), то и их произведение ЧГФ снова переводит прямую в прямую (I в I"), т. е. произведение двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием. Отсюда следует, что можно рассматривать «геомет­рию», изучающую «аффинные» свойства фигур, т. е. свойства, сохра­няющиеся при аффинных преобразованиях (геометрия группы 3(); соответствующая дисциплина — аффинная геометрия — является в настоящее время большой самостоятельной наукой.

В аффинной геометрии можно говорить о точках и о прямых, по­скольку эти понятия сохраняются при аффинных преобразованиях

') Очень важную категорию этих «не евклидовых» геометрий состав­ляют так называемые неевклидовы геометрии (без кавычек) и, в частности, неевклидова геометр /я Лобачевского (см. по этому поводу статью о неевкли­довых геометриях в кн. V ЭЭМ).

(точка переходит снова в точку и прямая — в прямую). Однако, скажем, поня гие окружности в аффинн й геометрии отсутствует — ведь аффинные преобразования могут перевести окружность в линию, не являющуюся окружностью; поэтому окружность здесь «не имеет геометрического смысла» (подобно тому как в обычной или евклидовой геометрии не имеет смысла, скажем, понятие горизонтального направления)'). Далее, в аффинной геометрии можно говорить о параллельных пря­мых, но не о перпендикулярных прямых; об отношении отрезков, при­надлежащих одной прямой, но не об отношении отрезков, принадле­жащих разным (не параллельным) прямым (см. свойства аффинных преобразований, указанные в п. 3.3, стр. 77). Так, типичной аффин­ной теоремой является следующая: три медианы треугольника пересека отся в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1 считая от вершины, в самом деле, все фигурирующие в этой теореме понятия имеют аффинный характер. Напротив, скажем, теорема о точке пересечения высот треугольника связана с понятием перпен­дикулярных прямых, отсутствующим в аффинной геометрии — и в этой геометрии теорему о точке пересечения высот невозможно сформу­лировать г).

Аналогично аффинным преобразованиям составляют группу и кру­говые преобразования (круговой1) плоскости (см. стр. 62); этой группе преобразований отвечает своя «геометрия», которую можно было бы назвать круговой геометрией (чаще говорят об ана- лагматической, или конформной геометрии)'). Приведенные соображе­ния доставляют также дополнительную мотивировку целесообразности введения такого понятия, как круговая плоскость, поскольку лишь на «расширенной» соответствующим образом плоскости можно говорить о группе круговых преобразований и, значит, лишь круговая но не евклидова) плоскость может служить «полем действия» круго­

1) Напротив, понятие эллипса (см статью о конических сечениях

l кн V ЭЭ.Н) принадлежит аффинной геометрии (поскольку каждое аффин ное преобразование переводит эллипс снова в эллипс)

г) Аффинную геометрию можно строить и аксиоматическим путем (ср. со статьей «Аксиомы и основные понятия геометрии» в этой книге ЭЭМ). Для этого надо ыарать какие-то основные, неопределяемые понятия аффинной геометрии и сформулировать в виде аксиом основные их свойства, из которых все остальные теоремы аффинной геометрии уже можно полу­чить дедуктивным путем. Аксиоматика аффинной геометрии близка к аксио­матике евклидовой геометрии; только понятие «равенства» отрезков или углов в ней не имеет смысла и связанные с этим понятием аксиомы должны быть откинуты или заменены ругими (см., например, указанную ^ подстрочном примечании на стр 62 книгу И. М Я г л о м а и В. Г. А ти­ки и узе. целиком посвященную аффинной геометрии). Иной вариант аксиоматик i аффинной геометрии намечен в статье «Векторы и их приме­нения геометрии».и напечатанной в этой книге ЭЭМ (стр. 292—381).

') Некоторое представление о содержании этой интересной геометрии мо л но получите из статьи «Окружности» в этой книге ЭЭМ.

вой (аналагматической) геометрии. Еще одну важную группу преобра­зований (проективные преобразования), приводящую к необходимости «расширения» плоскости введением «несобственных» элементов, мы рас­смотрим в следующем параграфе.

Аффинная и круговая (аналагматическая) геометрии представляют собой обширные разделы геометрии, которым (так же как и рассмат­риваемой в следующем параграфе проективной геометрии) посвящена значительная литература и которые имеют важные приложения. Однако существует и много других «геометрий», отвечающих иным группам геометрических преобразований.

В качестве примера отметим здесь ^геометрию», изучающую свойства фигур, сохраняющиеся при параллельных переносах (т е. «геометрию», в ко­торой «равными» считаются лишь фигуры, равные в обычном смысле и па­раллельно расположенные). Нетрудно видеть, что совокупность всех параллельных переносов плоскости представляет обой группу; в самом деле:

1Г. Тождественное преобразование I можно рассматривать как парал­лельный перенос (в любом направлении!) на нулевое расстояние

2°. Преобразование, обратное параллельному переносу, представляет собой параллельный перенос (см. стр. 97).

Зг. Произведение двух параллельных переносе: также есть параллель­ный перенос (см. стр. 81).

Поэтому изучение таких свойств фигур, которые являются общими для всех фигур, получающихся одна из другой параллельным перенесе­нием, является занятием вполне осмысленным (хоть и не очень интерес­ным), и соотгетствующая «геометрия» (геометрия группы 5F) ( логической стороны должна считаться столь же законной, как и обыкновенная евкли­дова геометрия (которой она, однако, неизмеримо уступает с точки зрения важности ее приложений)").

В этой новой «геометрии» теряет смысл целый ряд понятий обыкно­венной (евклидовой) геометрии, например длина отрезка (ибо отрезки разных направлений здесь являются «несравнимыми», поскольку никакие два такие отрезка нельзя совместить «движением») или величина угла (по аналогичной причине). Нельзя определить здесь и окружности, поскольку оба определения окружности — как геометрического места точек, удаленных от фиксированной точки на постоянное расстояние, и как геометрического места точек, из которых данный отрезок виден под постоян­ным (ориентированным) углом — ока ываются бессодержательными. В про тивоположность этому понятие прямой линии, разумеется, полностью сохраняет свое значение в новой «геометрии»; можно считать даже, чт» оно играет здесь большую роль, чем в евклидовой геометрии, поскольку теперь прямая является единственной линией, которую можно «движением» совместить саму с собой. Отсюда вытекает, что в нашей «геометрии» можно по-прежнему говорить о треугольниках, четырехуголь­никах и т д. и изучать их свойства. Важную роль играет в рассматривае­мой «геометрии» понятие отношения отрезков о^ной прямой (или

') Эту «геометрию» можно определить тем, что в ней равные фигуры характеризуются как такие, у которых отрезки, соединяющие соответствую щие друг другу пары точек, не только равны в обычном смысле этого слова, но также параллельны и одинаково направлены (см. т. I книги. И. М. Я г лома [2], указанной в конце статьи, стр. 22—23)

параллельных прямых), при определении которого достаточно говорить о равенстве отре?ков одного направления, «равных» и в старом (евклидовом) и в новом смысле; мы можем даже ввести для отрезков фиксированного направления понятие «длины» (не имея, однако, никакой возможности сравнивать «длины» отрезков разных направлений!). Сохраняет смысл в но­вой «геометрии» и понятие площади плоской фигуры, поскольку евклидово определение площади, связанное с рассмотрением сети квадратов и подсче­том числа покрываемых фигурой квадратов, использует лишь равенство квадратов сети, а эти квадраты также «равны» и в смысле рассматри­ваемой здесь «геометрии»').

Разумеется, все теоремы евклидовой геометрии, которые можно сфор­мулировать в терминах «геометрии параллельных переносов», остаются верными и в этой новой «геометрии»; это вытекает из того, что если все движения плоскости сохраняют некоторые свойства геометрических фи­гур, то, разумеется, эти свойства не нарушаются и при параллельных пере­носах. Так, например, мы по прежнему можем утверждать, что медианы тр'угольнчка пересекаются в одной точке и делятся « ней в отношении 2:1, считая от вершины (ясно, что все понятия, фигурирующие в этой теореме, в новой «геометрии» имеют смысл), или что два треугольника ABC и А ВС,, для которых СС, || АВ, равновелики-(рис. 51). В противоположность этому, скажем, теоремы о том, что пересекаются в одной точке высоты или бис­сектрисы треугольника теряют здесь смысл, поскольку мы теперь не можем говорить о перпендикулярности прямых (и, следовательно о высотах) и о равенстве углов с непараллельными сторонами (а значит, и о бис­сектрисах).

Теоремы евклидовой геометрии, связанные с понятиями, имеющими в рассматриваемой здесь «геометрии» новый смысл, могут изменить в этой «геометрии» свою формулировку. Так, например, из «равенства» двух треугольников ABC и А В'С' по-прежнему следует «равенство» их соответ­ствующих сторон (рис. 52; кавычки, в которые мы берем слово «равенство», подчеркивают, что мы понимаем его теперь не так, как в евклидовой геометрии); однако теперь уже из «равенства» двух пар сторон (напри­мер, АВ и А'В', АС и А'С) вытекает «равенство» треугольников. Можно указать еще целый ряд предложений, которые имеют силу в рассматри­ваемой здесь «геометрии», но не в геометрии Евклида; так, например, для «равенства» двух треугольников ABC и А'В'С' здесь необходимо {и достаточно) «равенство» трех отрезков АА', ВВ' и СС' ((м. тот же рис. 52), а из «равенства» противоположных сторон АВ и DC четырех­угольника ABCD вытекает, что «равны» и стороны AD и ВС и что диаго­нали АС и BD четырехугольника в точке пересечения делятся пополам {рис. 53)1).

Видоизменением рассматриваемой «геометрии» (геометрии группы является другая «геометрия», изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при всевозможных параллельных переносах и при симметриях относительно

') Ничего не меняет и то обстоятельство, что при таком определении площади плоской фигуры («Конструктивное определение площади»; см. в кн. V ЭЭМ статью «Площадь и объем») приходится говорить не об одной сети квадратов, а о бесконечной последовательности таких сетей с неограниченно уменьшающимися квадратами сети.

г) К рассматриваемой здесь «геометрии;* по существу относится учение о векторах (см. статью «Векторы и их применения в геометрии», в этой книге ЭЭМ), поскольку равенство векторов (направленных отрезков) АВ и CD можно определить так: векторы АВ и CD равны, если один из них можно совместить с другим параллельным переносом (ср. стр. 296).

любых точек плоскости. Эти свойства, действительно, составляют предмет некоторой «геометрии», поскольку совокупность <5> всех параллельных переносов и симметрий относительно точек образует группу:

1°. Т /ждественное преобразование I можно рассматривать как «нуле вой» параллельный перенос.

 

 

 

 

 

 

 

2*. Преобразование, обратное параллельному переносу, снова есть параллельный перенос; преобразование, обратное симметрии относительно точки, есть снова симметрия относительно точки (та же самая).

3° Произведение двух параллельных переносов снова есть параллель­ный перенос; произведение параллельного переноса и симметрии относи­тельно точки (взятых в любом порядке) есть симметрия относительно точки (см. стр. 81—83), произведение двух симметрий относительно двух точек есть параллельный перенос (см стр. 83; если центры двух симметрий совпадают, то их произведение представляет со­бой «нулевой» параллельный перенос).

Отекла следует, что сово­купность 3 всех параллельных перено. ов и всех симметрий от­носительно точек может быть положена в основу определе­ния своеобразной «геомет-    р рии» ') Эта «геометрия» в "с" известном смысле является

промежуточной между рассматриваемой выше и евклидовой геометриями, по­скольку группа © является промежуточной между группой ф парал­лельных переносов и группой движений (группа ©содержит группу и содержится а группе Л>) Соответственно этому эта новая «геометрия» ближе к евклидовой геометрии, чем рассмотренная нами выше «геометрия» группы Так, например, теперь мы уже можем утверждать, что верти­кальные углы «равны*, ибо два таких угла можно совместить симметрией относительно их общей вершины (в геометрии группы ^ эта теорема неверна), далее, в новой геометрии «равенства» двух пар сторон тре- угольнмко ЛВС и А'В'С' недостаточно для того, чтобы утверждать, что «равны» и сами треугольники (рис. 54), в то время как «равенство» трех пар сторон уже с неизбежностью влечет за собой «равенство» треуголь­ников Наконец, интересный пример теоремы, сохраняющей силу как

') В этой геометрии «равными» считаются такие фигуры, что отрезки, сое диияющне соответствующие друг другу пары точек этих фигур, не только равны ь обычном смысле, но и параллельны, хотя их направления могут быть и противоположными (ср. т. 1 книги [2], стр. 22 — 23 а 27)

в евклидовой геометрии, так и в «геометрии» группы о, но нарушающейся в «геометрии» группы доставляет так называемая теорема Бойяи — Гер вина: любые две равновеликих многоугольника ривносоставлены, т. е. могут быть разбиты на соответственно «равные» многоугольные части ')

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я