• 5

6.2. Геометрия и группы преобразований.

 Нетрудно понять, как можно объединить наши два определения геометрии. Вместо движений или преобразований подобия мы будем говорить о какой-то совокупности © геометрических преобразований, не уточняя, о каких именно преобразованиях идет речь; «равными», т. е. обладающими одинаковыми свойствами, мы объявим те фигуры, которые переводятся одна в другую каким-либо преобразованием из совокупности ©. При этом мы придем к определению геометрии как науки, изучающей свойства фигур, сохраняющиеся при преоб­разованиях из заданной совокупности Й преобразований.

Однако если определение геометрии как науки, изучающей свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, является слишком узким, то последнее определение геометрии является уже слишком широким, и в силу этого также неудовлетворительным. В самом деле, согласно этому определению мы считаем «равными» две такие фигуры Fx и Ft, что одну из них можно перевести в другую неко­торым преобразованием из совокупности ©. Но для того, чтобы но­вое понятие «равенства» не расходилось со старым очень уж далеко, естественно потребовать выполнения следующих трех свойств, кото­рые выполняются абсолютно для всех типов «равенства», с которыми мы встречаемся в математике и в жизни ') (равенства чисел, алгеб­раических выражений, векторов, геометрических фигур, физических характеристик как сил или скоростей, равенства способностей,

') Ср. текст на стр. 296—297 этой книги ЭЭМ.

успехов, художественных достоинств двух произведений искус­ства и т. д.):

1 Каждая фигура F «равна» сама себе (рефлексивность).

2°. Если фигура Fx «равна» фигуре Ft, то и обратно, Ft нравна» Fx (симметричность).

3°. Если фигура Fx «равна» Ft, a Ft «равна» F,, то и Fx нравна» Ft (транзитивность).

Ясно, что в случае совершенно произвольной совокупности & преобразований «равенство», определенное с помощью этой совокуп­ности, можег и не обладать свойствами 1°—3°. Для того чтобы обеспечить выполнение этих трех свойств, естественно потребовать, чтобы:

1°. Совокупность преобразований (У содержала тождественное преобразование 1, переводящее всякую фигуру саму в себя.

2°. Наряду с каждым преобразованием Ф. переводящим фигуру F, в фигуру Гг, совокупность W содержала и обратное преобразование Ф-1, переносящее фигуру Ft в фигуру Fx.

3°. Наряду с каждыми двумя преобразованиями Ф о пере­водящими фигуру Fx в фигуру F2, соответственно фигуру F2 — в фигуру Ft, совокупность (i) содержала и произведение УФ этих двух преобразований, переводящее Fx в Ft.

Совокупность преобразований, удовлетворяющая свойствам 1°—3°, называется группой преобразований1). Таким образом, мы приходим к следующему общему определению геометрии, впервые сф >рмули- рованному известным немецким математиком Феликсом Клейном в лек­ции, которую он прочитал при вступлении на профессорскую кафедру университета в г. сЭрлангене (Германия) *) и которая впоследствии получила название Эрлангенской программы Клейна*):

Геометрия — это наука, изучающая свойства фигур, сохраняю­щиеся при преобразованиях некоторой группы (3 преобразований.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я