• 5

§ 6. Общее определение геометрии.

Группы геометрических преобразований

6.1. Предмет (еомегрии. Учение о геометрических преобразова­ниях сыграло важную роль в оформлении наших взглядов на сам предмет геометрии. Оно лежит в основе одного из самых распростра­ненных общих определений геометрии, позволяющего разобраться в сущности сходства и огличий между различными ветвями этой обширной математической дисциплины. Для того чтобы прийти к по­добному определению «геометрии», понимаемой в широком смысле этого слова, нам надо будет прежде всего остановиться на вопросе о содержании обычной геометрии Евклида.

В средней школе говорят, что предметом геометрии является изучение свойств геометрических фигур. При этом «геометрическую фигуру» можно описать как какую-то совокупность точек; труднее ответить на вопрос о «свойствах», которые интересуют геометра. Ясно, что здесь речь идет не о всех вообще свойствах, какие только можно придумать; гак, цвет фигуры, вопрос о том, начерчен ли тре­угольник белым по черному (мелом на доске) или черным по белому (карандашом в тетради) вовсе не рассматривается на уроках геомет­рии. Поэтому, для того чтобы уточнить данное выше описание геометрии, необходимо уяснить себе, чем характеризуются геомет­рические свойства фигур.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к тем задачам, которые решаются в геометрии, прежде всего к задачам на построение, являющимся типичными для этого предмета. Из школь­ного курса хорошо известно, что для того, чтобы задача на пост­роение треугольника имела определенное решение (возможно не­сколько решений, скажем, два или четыре), надо задать три незави­симых элемента треугольника, например три стороны или две стороны и угол; два элемента, вообще говоря, определяют бесконечно много треугольников, а четыре произвольно заданных элемента—ни одного. Однако утверждение о том, что существует единственный треугольник с заданными длинами a, b, с сторон, строго говоря, не верно: на самом деле таких треугольников можно найти беско­

нечно много, но все эти треугольники будут между собой равны1) (рис. 50). И когда мы говорим, что задача построения треугольника по трем сторонам имеет единственное решение, мы только под­черкиваем этим, что все треугольники со сторонами а, Ь, с будут одинаковыми, равными

Но что означает в геометрии слово «равные»? Под «равными» фи­гурами мы понимаем такие две фигуры Ft и Ft, которые отличаются друг от друга только положением (не формой и не размерами!), т. е., другими словами, равными считаются две фигуры, одна из которых может быть переведена в другую с помощью некоторого движения (ср. выше, стр. 60). И если в геометрии треугольники (или другие фигуры), получающиеся друг из друга движением, считаются одинако-

в

 

 

 

 

 

ства у этих треугольников (фигур) будут одними и теми же. Таким образом, мы видим, что рассматриваемые в геометрии свойства фигур — это те свойства, которые не зависят от положения фигуры, т. е. не изменяются при ее движении: геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движении фигуры

Вспомним, что движения мы определили как такие геометрические преобразования, которые сохраняют расстояния между любыми двумя точками (см. стр. 60); это соответствует тому, что у равных фигур отвечающие друг другу отрезки одинаковы г) (так, у равных треуголь-

') Ср текст на стр. 296—297 этой книги ЭЭМ.

2) Более точная формулировка заключается в следующем. Пусть f, и Г2 — две равные фигуры; тогда существует движение Ф, переводящее фигуру F, в т. е. F2 = 0(F,). Точку Л2 фигуры Fz называют соотвгт- ствующей точке А, фигуры F,, если Л2 = Ф(Л,). Из определения движения следует, что расстояние между любыми двумя точками А, и В, фигуры Ft равно расстоянию между соответствующими им точками Л2=Ф(Л,) и В„ = Ф (б,) фигуры F2:

ников будут равны не только стороны, но и соответствующие бис­сектрисы, медианы, высоты и т. д.). Сформулированное выше опреде­ление геометрии можно теперь перефразировать так: геометрия изу­чает свойства фигур, сохраняющиеся при таких преобразованиях, которые не меняют расстояний между точками.

Такое определение геометрии создает впечатление, что пер­выми, самыми главными свойствами геометрической фигуры, являются расстояния между ее точками. Но на самом деле это не так — поня­тие расстояния между точками (длнны отрезка) вообще не фигури­рует (и не может фигурировать!) ни в одной геометрической теореме. В самом деле, длина отрезка определяется сравнением его с неко­торым фиксированным раз навсегда отрезком, называемым едини­цей длины; поэтому утверждение (в условии или в доказательстве какой либо теоремы) о том, что определенный отрезок равен, скажем, двум, означает, что в этом отрезке два раза -укладывается отрезок, принятый за единицу длины. Таким образом, это утверждение привлекает к рассмотрению единичный отрезок, а между тем все отрезки с точки зрения геометра совершенно равноправны и, оста­ваясь в рамках собственно геометрии, нет никакой возможности отделить какой-нибудь из них для того, чтобы принять его за еди­ничный! Именно поэтому все определения единицы длины апелируют к понятиям, которые никак нельзя отнести к геометрии: гак, метр определялся как расстояние между двумя отметками на платиново- иридиевом эталоне метра, хранящемся в Парижском институте мер и весов, или, несколько менее точно, как одна 40 000 000-я часть парижского меридиана Земли (ср с «чисто геометрическим» опре­делением прямого угла как такого, который равен своему смежному, или угла в 1 радиан, определяемого равенством отвечающей ему дуги окружности радиусу окружности). Поэтому ни в одной геометрической теореме не может участвовать длина какого-нибудь отрезка, а лишь от­ношение длин двух отрезков, не зависящее от выбора единицы длины (например теорема о соотношении между углами и сторонами

треугольника утверждает, что если      /_В, то ^->1, а теорема

о прямоугольном треугольнике с углом в 30° — что если в треуголь­нике ABC мы имеем /_А = 90° и /_В = Ж, то | = 2 j .

Все эти соображения заставляют нас считать, что правильнее охарактеризовать (евклидову) геометрию как науку, изучающую свойства фигур, сохраняющиеся при преобразованиях, не ме­няющих отношений расстояний между точками, т. е. при преобразованиях подобия (см. стр 61). Но такое опреде­ление, справедливость которого была мотивирована лишь рассужде­ниями, относящимися к геометрическим теоремам, перестает быть верным при переходе к задачам на построение. В самом деле,

в этих задачах длина отрезка задается не числом, выражающим отношение рассматриваемого отрезка к единице длины, а геометри­чески— указанием отрезка, равного интересующему нас (ср. рис. 50). Поэтому, если в геометрических теоремах подобные фигуры можно считать «одинаковыми'», обладающими одними и теми же геомет­рическими свойствами, то в задаче на построение треуголь­ник  все стороны которого в два раза больше сторон данного треугольника ABC, будет уж существенно отличаться от ABC— лишь один из этих двух треугольников может доставлять решение задачи на построение треугольника, но никак не оба сразу!

Создавшееся положение может первоначально показаться довольно неожиданным. Нам приходится считать, что при решении задачи на построение и при доказательстве теоремы мы имеем дело с двумя разными определениями предмета геометрии и, следовательно, с двумя разными (хоть и очень близкими одна к другой!) «геомет­риями». Это положение вынуждает нас дать геометрии новое опре­деление, которое охватило бы оба определения, к которым мы пришли выше: лишь имея подобное «общее» определение, мы сможем считать, что геометрия представляет собой единую науку, а не две раз­ные науки, которым лишь по ошибке присвоено одинаковое название.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я