• 5

5.2. Инволюции.

 Особую роль в геометрии играют такие преобразова­ния, которые обрати ы сами себе (другими словами, такие преобра­зования Ф, которые «меняют местами» пары точек: если Ф(Л) = Л', то Ф(Л') = Л). Примерами таких преобразований являются симметрия отно­сительно точки, симметрия относительно прямой, инверсия (в частности, симметрия относительно окружности; см. стр. 56), гиперболическая инвер­сия (в частности, симметрия относительно пары параллельных прямых; см. стр 59). Такие преобразования называют инволютивными преобразова­ниями или инволюциями ') (ино да их называют также симметриями).

') Латинский термин involutio означает скрученное состояние молодых листьев Это — единственный термин, оставшийся в геометрии от замеча- тепьного математика XVII в., создателя проективной геометрии Ж. Д е- за р га, использовавшего в споем трактате массу новых терминов, как пра­вило заимствованных из ботаники.

взаимно однозначное отображение отрезка

 

действи-

7 Энциклопедия, кн. 4

Взаимно обратные преобразования Ф и Ф-1 можно определить еще как такие, произведение которых, взятых в любом порядке, представляет собой тождественное преобразование (их общей области действия). В част­ности, тождественным преобразованием является «квадрат» Ф2 любого инво- лютивного преобразования Ф. В самом деле, преобразования Ф и Ф-' таковы, что из Ф(А) = А' следует Ф_1(Л') = Л и поэтому

ФФ-1 (Л')=Ф (А) —А', Ф-1Ф(Л)=Ф-,(Л') = Л,

т. е ни преобразование Ф~'Ф, ни преобразование ФФ-1 не меняют поло­жения точек в их общей области действия Л-

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я