• 5

2.2. «Постулаты» Евклида

«Постулаты» Евклида но существу представляют собой правила построений с помощью идеальной ли­нейки и идеального циркуля. Первые два постулата «всякие две точки можно соединить прямой линией» и «ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжать» определяют действия с по­мощью идеальной линейки. Третий постулат «из всякого центра вся­ким радиусом можно описать окружность» определяют действия с помощью идеального циркуля'). Четвертый постулат «все прямые углы равны между собой» является излишним; как было замечено впоследствии, его нетрудно вывести из остальных аксиом. Послед­ний постулат Евклида, его знаменитый V постулат, гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продол­жении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

При формулировке этих постулатов мы встречаемся с равенством двух углов и со случаем, когда сумма двух углов меньше третьего. Эти соотношения определяются «общими понятиями» Евклида, по существу представляющими собой принципы измерения длин, углов, площадей и объемов. Их также пять: «равные одному и тому же равны между собой», «если к равным прибавить равные, суммы равны между собой», «если от равных отнять равные, остатки равны между собой», «совмещающиеся друг с другом равны между собой», «целое больше части». Четвертое из этих «общих понятий» дает критерий равенства прямолинейных отрезков и углов (мы видели, что этот . критерий равенства применялся еще Фалесом), а также достаточное, хотя и не необходимое условие равенства площадей более сложных фигур, т. е. в применении к площадям эту четвертую аксиому сле­дует понимать так: «совмещающиеся друг с другом фигуры равны между собой (по площади)». Равенство площадей многоугольников различной формы доказывалось с помощью присоединения к четвер­тому «общему понятию» первых трех *). Пятое «общее понятие» вместе с предыдущими дает критерий того, что одна фигура больше другой; например, чтобы установить, что сумма двух углов больше третьего, надо убедиться, что третий угол можно наложить на часть угла, составленного из двух первых углов.

Евклид понимал под решением задачи только построение с по­мощью идеального циркуля и идеальной линейки. В частности, для

') Полный список «постулатов», на которых основано решение задач на построение с помощью циркуля и линейки, читатель найдет в статье: «О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки», стр. 208 — 209 настоящей книги ЭЭМ

г) Полный список «постулатов», на которых основано вычисление пло­щадей и изложение современного учения о площадях, читатель найдет в начале статьи «О площадях и объемах» в кн. V ЭЭМ.

Евклида найти площадь или объем означало построить циркулем и линейкой квадрат или куб, равный данной фигуре, т. е., как гово­рят, произвести «квадратуру» или «кубатуру» этой фигуры. Так как квадратура круга и кубатура круглых тел с помощью циркуля и линейки не удавались (и, как впоследствии было доказано Линдема- ном, невозможны), Евклид не рассматривал ни площади круга, ни объемов круглых тел. Решение этих задач для многих плоских фигур и тел было произведено (вскоре после Евклида) Архимедом при помощи методов, восходящих к Демокриту.

«Начала» Евклида завершались построениями с помощью циркуля и линейки ребер пяти правильных многогранников, вписанных в сферу данного радиуса и исследованием полученных несоизмеримых величин.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я