• 5

§ 5. Обратное преобразование

5.1. Определение обратного преобразования. После того как мы перевели на язык геометрических преобразований понятие сложной функции, естественно вспомнить и о понятии обратной функ­ции. Известно, что две функции /(х) и g(x) называются взаимно обратными, если из того, что f(x) — y, следует g(y) — x; так, например, взаимно обратными являются функции /(х) = хг и g(x) =V х, или f(x) — а* и g(x)= logax, или /(*)= sin* и g(x) = =arc tIii x. Иногда для обратной функции употребляется еще сле­дующее обозначение: функция, обратная для f(x), записывается как f'1 (х); так, вместо aKSinjc в старину зачастую писали sin-1*, а в английских учебниках и теперь пишут так. Важно заметить, что функцию, обратную для функции f(x), можно определить только в том случае, если ни при каких двух разных значе­ниях х функция /(х) не принимает одинакового значения у; именно поэтому при определении функции, обратной функции х1 или sin л; приходится ограничивать область изменения х условиями

х^О, соответственно — -5- ^ х ^ .

Заменив теперь х и у в определении обратной функции точ­ками (при этом роль самой функции будет играть геометрическое отображение), мы придем к понятию обратного отображения. Пусть Ф — некоторое взаимно однозначное отображение с областью определения А и областью значений А' Тогда, как мы знаем, для любой точки А' области значений А' найдется ровно одна точка А области А, для которой Ф(Л) = Д' (ого и есть определение взаимно однозначного отображения). Эту точку А называют прообразом точки А' при отображении Ф и обозначают симво­лом Ф-,(Л'). Таким образом, с каждой точкой А' области А' сопостав­ляется определенная точка Д = Ф_,(Л/) области А■ Тем самым мы приходим к новому отображению Ф-1 с облтстью определения А' и областью значений А. Это отображение и называется обратным для отображения Ф. Так, например, функция у= sinх осуществляет

тельной оси на отрезок А' =[—1, 1]. Поэтому определено обрат­ное отображение отрезка А' на отрезок А; это обратное отображе­ние обозначается символом arcsin.

В геометрии особенно интересен случай, когда Ф есть преобразо­вание с областью действия А■ Так как Ф взаимно однозначно, то определено обратное отображение Ф~', которое, очевидно, также является преобразованием с той же областью действия Л- Это пре­образование Ф~' называется обратным преобразованием для пре­образования Ф. Так, например, обратным для параллельного переноса на вектор ММ' является перенос на (противоположный!) вектор М'М (ибо если АА' = ММ', то А'А = М'М); обратной для гомотетии с центром О и коэффициентом k является гомотетия с тем же цент-

^          о.*.      1 I OA' , OA I \ л

ром О и коэффициентом ( если -щ- — к, то = ' обРатнЬ1М

для сжатия к прямой о с коэффициентом k является сжатие к той же

прямой с коэффициентом ~ .

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я