• 5

4.5. Дальнейшие примеры произведения преобразований.

Мы не будем останавливаться здесь столь же подробно на вопросе о произведении преобразований подобия. Заметим лишь, что проведенная нами классификация движений (т. е. перечисление всех возможных типов движений) моментально приводит и к классификации преобразований подобия, ибо очевидно, что преобразование подобия П с коэффициентом подобия k можно представить как произведение (какой угодно!) гомотетии Г с коэффициентом k и последующего движения А. В самом деле, если П=ДГ, где Д—какое-то преобразование, то поскольку и гомотетия Г и исходное преобразование подобия П изменяют все расстоянии в k раз, то преобразование Д уже не меняет расстояний между точками, т. е. является движением. Таким образом, в определенном смысле все преобразования подобия

сводятся к гомотетии (сжатию к точке). Можно также показать, что (в аналогичном смысле) все аффинные преобразования сводятся к сжатию к прямой; более точно, каждое аффинное преобразова­ние А можно представить в виде произведения ПА, где Л есть сжатие к прямой I, а П — преобразование подобия. Аналогично, любое круговое преобразование плоскости сводится к инверсии: каждое круговое преобразование К представляет собой произве­дение ПО инверсии Q и преобразования подобия П. Доказатель­ства этих довольно сложных теорем мы опустим ').

В заключение приведем еще три примера произведений преобра­зований, отличных от движений.

5°. Пусть Ф, есть гомотетия с центром О, и коэффициен­том kx, а Фг—гомотетия с центром 0г и коэффициентом kx. Выберем на плоскости произвольные точки А и В и положим Ф,И) = /4', Ф2(Л') = И", Ф, (£) = £', Ф2 (£')=£". Так как А'В' || АВ и А"БГ || А'В', то А"БС || АВ (причем отрезок А"В" направлен в ту же сторону, что и АВ, если оба числа fe, и fet положительны или оба отрицательны, и направлен противоположно АВ в противном случае);

А'В'     А"В"    А" В"

так как, далее,         = и      =          то        = I ki I* I К I-

Отсюда следует, что при kxkt= 1 преобразование Ф,Ф, представляет собой параллельный перенос на вектор А А" (рис. 48, а; в этом случае для любой точки В имеем ВВ"#АА"у, при    преобра­

зование Ф2Ф, представляет собой гомотетию с коэффициентом ktkt (рис. 48, б; в этом случае, какова бы ни была точка В, прямая В"В

r, OA" А"В" ОБ" ,, . \ пересекает А А в такой точке О, что     = Qg- = l«,«i| J •

Заметим еще, что если Ф,Ф, есть параллельный перенос, то его направление параллельно прямой 0,02; если же Ф2Ф, есть гомотетия, то ее центр О лежит на прямой ОхОх. Это следует из того, что оба преобразования Ф, и Фа переводят прямую 0,0, в себя; следовательно, эту прямую оставляет на месте также преоб­разование (гомотетия или параллельный перенос) ФгФ,. Но гомотетия переводит в себя лишь прямые, проходящие через ее центр, а парал­лельный перенос—лишь прямые, направление которых совпадает с направлением переноса. Отсюда вытекает, в частности, известная теорема о трех центрах гомотетии: центры гомотетии трех попарно гомотетичных фигур лежат на одной прямой, называемой осью гомотетии (рис. 48, б).

Интересно отметить частный случай последнего предложения, к которому мы приходим, если рассматриваемые фигуры являются окружностями. Известно, что две (не равные) окружности S , St

') См., например, книги Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова или И. М. Яглома и В. Г. Ашкинузе, указанные в сноске ') на стр. 76, а также § 5 гл. I статьи «Окружности», стр. 476—478.

имеют два центра гомотетии, совпадающих в случае окружностей, леж°щих одна вне другой, с точками пересечения их общих внешних и внутренних касательных • ;>ио 49). Отсюда вытек 1ет, в силу дока-

 

о)

 

Нис. 48.

занной выше теоремы, что три точки пересечения общих внешних касательных (т. е. три внешних центра подобия) трех попарно не­равных окружностей лежат на одной прямой. Можно взягь и другие комбинации внешних и внутренних центров подобия: шесть попарных

S.

 

центров подобия трех (попарно не равных) окружностей лежат по три на четырех прямых (осях подобия рассматриваемых трех окружностей, рис. 49)

6°. Пусть Ф,—инверсия с центром О и степенью Ф, — инвер­сия с тем же центром О и (иной) степенью kt. В таком случае, если Ф (А) = А' и ф(А') = А", то точка А" лежит на прямой OA

OA" k

(ибо А' лежит на прямой OA, а А' — на прямой OA') и од—jt

(kk\ 1 ибо OA' = щ-, a =       Отсюда, как может показаться, сле­

дует, что преобразование Ф,Ф, совпадает с гомотетией Г с цент­ром О и коэффициентом —. Однако надо иметь в виду, что пре-

к,

образование ФгФ, хотя и очень близко к гомотетии Г, но отличается от Г областью действия: областью действия гомотетии Г является плоскость, а областью действия преобразования Ф,Ф, — либо плоскость с исключенной точкой О (не входящей в область определения обоих преобразований Ф, и Фг), либо «расширенная» (круговая) плоскость.

7°. Совершенно так же показывается, что произведение ЧГ2Ч', гиперболи­ческих инверсий Т, и с одной и той же осью о и (разными) степенями k,

k

и kt отличается от сжатия к прямой о с коэффициентом лишь тем, что

я,

областью определения преобразования Ч'гЧ', является не вся плоскость, а плоскость с выброшенной прямой о (или плоскость, надлежащим обра­зом дополненная «несобственными» элементами).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я