• 5

4.4. Применения.

 Полученные результаты могут быть использованы для решения многочисленных задач на построение и на доказательство. Рассмотрим, например, задачу о построении многсугольнию АгАг . . А„ по заданным вершинам Q,, Q2, . . . , Qn равш бедренных треугольников с из­вестными углами а,, аг, ., а„ при вершинах, построенных на его сторо­нах (рис. 44) Эта задача охватывает широко известные задачи о пост­роении треугольника по центрам построенных на его сторонах квадратов

Рис. 43.

') Произведение трех симметрий относительно прямой всегда мо­жет быть представлено в виде так называемой скользящей симметрии, т. е. произведения симметрии относительно некоторой прямой и парал­лельного переноса в направлении этой же прямой (см. книги И. М. Яг л ома [2] и Д. И. П е р е п е л к и н а, [3] указанные б конце статьи). Итак, каждое движение плоскости является либо параллельным пере­носом, либо вращением, либо скользящей симметрией (частным сл>чаем сколь­зящей симметрии является обычная симметрия относительно прямой).

(п = 3, а, = а2 = аг = 90°), или о построении треугольника по вершинам построенных на его сторонах правильных треугольников (п = 3, а, = а2=а3 = 60°), или о построении многоугольника по известным серединам сторон (л произюльно, а, = а2 =... =а„= 180°) . т д.

Для решения этой задачи заметим, что последовательное применение вращений В„ В2, ..., В„ с центрами Qu Q2, ..., Qn соответственно иа углы а,, а2, , а„ переводит: сначала точку Д, в Аг, затем в Л5, ... и, наконец, А„ обратно в А, (рис. 44). Таким образом, точка At про­изведением ВПВ„_,...В2В, рассматриваемых вращений оставляет­ся на месте. Но из доказанных выше теорем следует, что произ­ведение В = В„...В,В, вращений представляет собой вращение на угол а, +а2 + ... +а„; центр этого «результирующего» вращения В легко найти, если последовательно заменить произведение 1 ращений В, и В2

одним вращением (или парал­лельным переносом) В(,); затем произведение преобразованинВ'1' и В,—одиим преобразованием В(,) q ит. д. Но ясно, что единственная * точка, которую оставляет на ме­сте вращение (на угол, отличный от к-360°!), есть центр этого «ра­щения; следовательно, искомая вершина А, многоугольника совпа­дает с центром Q результирующего вращения В и потому может быть построена. Далее, ясно, что, зная точку А, (а также точки Qt, Q2, ..., Qn и углы а„ а2, ..., ап), мы легко построим и весь я-угольник.

Это рассуждение оказывается непригодным в одном исключи­тельном случае: если сумма + аг + • - ■ + ап углов поворота кратна 360°. В этом случае мы вообще не можем задать произвольным образом вершины Qj, ...,Qn построенных иа сторонах многоугольника треуголь­ников— ведь произведение вращений В,, В2, ...,В„ на углы а,, а2, .. ,а„ (где а, + а2 + ... + а„ = к-360с>) является параллельным переносом, который, вообще говоря (если вектор переноса ^0), не оставляет на месте ни одной точки плоскости! Таким образом, как правило, соответствующая задача на построение при а, +а2+ .. . +<*„ — 6-360° не будет иметь решений. Лишь при некоторых специальных расположениях точек Q„ Qs, ..., Qn результирующее преобразование В = В„...ВгВ, явится «паралл,льным пере­носом иа нулевое расстояние», т. е. будет тождественным преобразованием и задача окажется разрешимой. Однако при этом оиа будет иметь даже «слишком много решений» (т. е. будет неопределенна)—любую точку плоскости можно будет принять за вершину А, искомого л-угольника, ибо тождественное преобразование оставляет на месте все точки плоскости! Поэтому и здесь задача на построение оказывается неинтересной; содер­жательной же является «задача на доказательство», требующая установить возможный характер конфигурации (расположения на плоскости) то­чек        ---, Qn, отвечающих реально существующему п-уголь- нику А,Аг...Ап.

Сказанное хорошо иллюстрируется уже упоминавшейся задачей о по­строении п-угольника А1Аг...АП по серединам Q,, Qt, .... Qn его сто­рон. В условии этой задачи на построение всегда добавляют, что рассмат­риваемый многоугольник имеет нечетное число п = 2k-f- 1 сторон. В этом

 

 

Рис. 45.

случае           ... + a„ = (2ft-|- 1)-180° и результирующее преобразование

является вращением на угол (2ft-(-1)-180°, т. е. вращением на 180°, или, иначе, симметрией относительно некоторой точки; центр Q этой сим­метрии (т. е. вершину Л, многоугольника!) легко найти, если воспользо­ваться содержанием примеров 1°—3° (стр. 81—83). Если же п = 2ft четно, то а, + а2 + ... + а„ = 2ft-180° = ft-360° и преобразование В = ВПВ„_,.. .В, будет параллельным переносом (либо тожде­ственным преобразованием). Поэтому середины Q,, Q2, .... Qn сторон 2£-угольника А1Аг...Ап не могут быть выбраны произвольно; так. например, хорошо известно, что при л = 4 эти точки (середины сторон произвольного четырехугольника) всегда являются вер­шинами параллелограмма') (рис. 45). Совершенно ясно, с чем это свя­зано: произведение симметрий 2, и S2 относительно точек Q, и Q2 пред­ставляет собой параллельный перенос П, иа вектор 2Q,Q2 (см. пример 3е на стр. 81—83), а произведение симметрий 2, и S4 относительно точек и Qt представляет собой параллельный перенос П2 на вектор            поэтому

лишь в случае, если t31Q2 = Q4(3, (т. е. если четырехугольник Q^QaQ,—

параллелограмм!), произведение Е^з!]^, = П2П, четырех симметрий будет тождественным преобразова­нием (т. е. задача построения четы­рехугольника по серединам его сто­рон будет разрешимой.

Вот еще две задачи подобного рода: что можно сказать о центрах правильных треугольников, построен­ных на сторонах произвольного тре- угольн iKa, или о центрах квадратов, построенных на сторонах произволь­ного четырехугольника (для опреде­ленности мы считаем, что правильные треугольники и квадраты построены вне исходного многоугольника)? В первом случае искомые три точки Ri. Rz и Rз обладают тем свойством, что произведение вращений В,. В2, В3 вокруг этих точек на угол 120° представляет собой тождественное преобразование (ибо 3-120° = 360°).

 

Рис. .6.

Но произведение В2В, первых двух вращений представляет собой вращение В на угол 240° вокруг точки R, в которой пересекаются проведенные через А!,

120°

и R2 прямые, образующие с прямой R,Rt углы —= 60° (рис. 46; см. выше

стр. 83). Ясно, что произведение вращений В и В, вокруг точек R и Rs на углы 240° и 120° в том и только в том случае явится тождественным преобразованием, если точка R, совпадает с R Таким образом, мы заклю-

') Ср. стр. 315 этой книги ЭЭМ.

 

чаем, что прямые R,RS и RSR, образуют с /?,/?2 углы в 60° или что (неза­висимо от формы исходного треугольника Л,/42Л,1) треугольник R,R2R, правильный.

Во втором случае (рис. 47) центры 7\, Тг, Тг, Г4 квадратов должны быть таковы, что произведение В1ВаВ2В, вращений вокруг этих точек на угол 90° представляет собой' тождественное преобразование Но произве­дение В2В, вращений вокруг Г, и Тг есть не что иное, как симметрия (вращение на угол 180°) 2, относительно точки U пересечения прямых,

90°

проведенных через Г, и через Тя под углами -^- = 45° к прямой ТхТг.

t Аналогично произведение В4В, вра­щений вокруг Т, и Т4 представляет собой симметрию S2 относительно такой точки V, что прямые T,V и Г4К образуют углы 45е с прямой T,Tt. Но ясно, что произведение симмет­рий тогда и только тогда пред­ставляет собой тождественное прео­бразование, когда точки U и V совпа­дают. Из совпадения точек U и V в свою очередь следует, что треуголь­ник итгтх получается из треуголь­ника UT^T вращением вокруг точки 1/аКна 90°, т. е. что отрезки ТхТг и ТгТл равны по длине и взаимно перпен­дикулярны. Заметим, что и обратно, если четыре точки Tlt Т., Tt, Tt та­ковы, что Т.Т^Т.Т, и Г,Г, 1 ТгТл, то вершины U и V равнобедренных прямоугольных треугольников Г,TJJ и ТгТу совпадут, так что существует четырехугольник А,А2Аа,44, для ко­торого Tt. Тг, Тг, 7\—центры постро- Рнс. 47.      енных иа его сторонах квадратов.

Таким образом, условия T,T, = T2Tt, ТтТ,}_ТгТ1 полностью характеризуют четырехугольники 7'17'27'!17,4, отве­чающие всевозможным четырехугольникам /4,Л2Л3у44.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я