• 5

4.3. Произведения движений; классификация движений.

 Рас­смотренные простые примеры произведений преобразований допускают интересные и важные приложения. Так, пример 4° может быть исполь­зован для нахождения произведения параллельного переноса Ф (на вектор ММ' —а) и вращения W (вокруг точки О на угол а) или двух вращений W и Ч*-, (У, — вращение вокруг точки О, на угол а,). В самом деле, параллельный перенос Ф можно себе пред­ставить как произведение симметрий 2 и 2, относительно таких прямых / и /,, перпендикулярных ММ', что расстояние между ними

равно ~ ММ'; выберем эти прямые так, чтобы /, проходила через

точку О (рис. 40, а). Англогично Ч*1 представим как произведение симметрий и 22 относительно пересекающихся в О прямых /, и

lt, угол между которыми равен   В таком случае произведе­

ние УФ сведется к произведению (к последовательному осуществле­нию) четырех симметрий 2, 2, и 2, (это можно записать так: 4*^=2,2,2,2). Воспользовавшись ассоциативностью умножения преобразований, мы можем записать УФ не в виде (212,)(2,2), а в виде 2, (2,2,) 2, отличающемся порядком расстановки скобок. Но произведение симметрий 2, и 2, представляет собой тождествен­ное преобразование I, не меняющее положения ни одной точки пло­скости; поэтому получаем ЧГФ=212, т. е. УФ есть вращение вокруг точки О, пересечения прямых / и (на угол а).

Аналогично, для того чтобы найти произведение ФУ, представим Y в виде произведения двух симметрий 2' и 2, относительно двух прямых /' и /„ проходящих через О и образующих угол причем попрежнему /, J_ ММ'; далее, Ф представим как произведение двух симметрий 2, и 2, относительно прямых /, и /г, расстояние между

 

которыми равно ~ ММ' (рис. 40, б). В таком случае мы будем иметь

и, следовательно, ФЧ*- будет представлять собой вращение вокруг точки 02 пересечения /' и 1г (на угол а)

Рис. 40.

Наконец, для того чтобы найти произведение ЧГ1ЧГ, двух вра­щений У, и Ч', с центрами О, н О, и углами поворота а, и а,, представим Ч*", в виде произведения симметрии относительно двух прямых, т и Ofit, пересекающихся в точке О, и образующих угол

а„ a Ч*,— как произведение симметрии относительно прямых 0,02

и тг, пересекающихся в точке Ог и образующих угол а2. При этом

Ч^Ч*-, представится как произведение симметрий относительно т, и т2, откуда следует, что преобразование Ч,2ЧГ, совпадает с вра­щением вокруг точки Q пересечения т1 и тг (на угол a,4-a2;

L

см. рис. 41, а). Исключение здесь а,+а2 = А-360°, т. е.          =

(рис. 41, б); в этом случае сршче т1

когда число

и

представляет случай,

где k—целое

тж будут параллельны и, следовательно, преобра­зование У^У, является параллельным пе­реносом.

До сих пор мы гово- I или исключительно о произведениях движе­ний. Заметим, что из сказанного выше нетрудно вывести полную класси­фикацию всех движений плоскости. Ясно, что ка­ждое движение плоскости полностью характеризу­ется тем, в какие точки А', В', С' перешли какие- то три точки А, В, С плоскости, не принадле­жащие одной прямой: в самом деле, при этом про­извольная точка М пло­скости перейдет в такую точку М', что расстояния М'А',М'В' и М'С' соот­ветственно равны рассто­яниям MA, MB и МС, а такая точка есть только одна'). Но очевидно, что точки А, В, С можно совместить с точками А', В', С' при помощи самое большее трех

 

 

 

 

 

6)

') Условия ЛГА' = МА, М'В' = МВ определяют на плоскости две точки ЛГ и ЛГ. находящиеся иа рази ых расстояниях от точки С'

 

Рис. 42.

(ибо С' ие лежит на прямой А'В'). Поэтому третье условие М'С' = МС од но иачио определяет точку ЛГ (pni-. 42).

А—

—ЫЙГ

ХчД

 

 

 

it^rj

            ' \у

симметрий относительно некоторых прямых. В самом деле, если точка А отлична от А', то мы совмещаем эти две точки симметрией Е, относи­тельно перпендикуляра /,, восставленного к отрезку АА' в его середине; треугольник ABC перейдет при симметрии 2, в треугольник А'ВХСХ (рис. 43). Далее, если точка В, = 2, (Б) не совпадает с В', то мы совмещаем ее с В' симметрией 2, относительно перпендикуляра восставленного к ВХВ' в его середине (заметим, что прямая 1г про­ходит через точку А', ибо  , А'В' = АВ=А'ВХ, и, еле- I N 5 довательно, 21(Л') = Л'). Если полученный кзА'ВХСХ с помощью симметоии 2S треугольник А'В'Сг не совпадает с треугольни­ком А'ВС', то он симмет ричен ему относительн прямой А'В' и потому может быть совмещен с треугольником А'В'С' при помощи еще одной сим­метрии 2, относительно прямой А В' =/, (рис. 43). Итак, любые два равных

треугольника могут быть совмещены самое большее тремя симмет- риями относительно прямых, откуда вытекает (см. пример 4°, стр. 83), что каждое движение плоскости представляет собой либо сим­метрию относительно прямой, либо параллельный перенос, либо вращение вокруг точки (которое, в частности, может оказаться симметрией относительно точки), либо, наконец, параллельный перенос или вращение, сопровождаемые еще одной симметрией относительно прямой г).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я