• 5

4.2. Некоторые общие свойства произведения преобразований.

 

Отметим, что, как следует из наших примеров, произведение двух преобразований (в отличие от произведения чисел), вообще говоря, существенно зависит от порядка, в котором взяты эти преобра­зованиях так, если Ф есть параллельный перенос на вектор ММ' »*= а, —симметрия относительно точки О, то УФ есть симметрия отно­сительно такой точки О,, что 00, = у М'М, а ФЧ' — симметрия от­носительно такой точки Ог, что 00, = уЛШ' (ср. пример 3*, в

частности рис. 37, а, б). Впрочем, это обстоятельство никак не может нас удивить — ведь произведение преобразований родственно понятию сложной функции, в которой порядок отдельных функций оказы­вается весьма существенным (совсем не одно и то же, например, sinsjc и sin(x!) или а~х и —ах].

Итак, мы видим, что в отличие от умножения чисел для умно­жения геометрических преобразований не выполняется коммута­тивный (переместительный) закон: преобразование УФ, вообще говоря, отлично от преобразования ФТ. Можно было бы думать, что также и ассоциативный (сочетательный) закон обыкновенной арифметики чисел будет нарушаться в «арифметике преобразований», т. е. что произведения Х(Ч'Ф) и (ХЧ')Ф пре­образований будут различны. Однако легко видеть, что это на самом деле не так: умножение преобразований всегда ассоциативно. В самом деле, пусть, скажем, Ф(A) = At, Y(/!,)=:Л, и X(At)=~At; в таком случае, очевидно,

с другой стороны,

Ф(А) = А1 и [(XY)Ф](Л) = (XW)(И,) = X(Л,)) = X(AJ = Л,.

Таким образом,

[х(¥ф)](д) = [(х¥)ф]и)

для любой точки А. Иначе говоря, каковы бы ни были три пре­образования Ф, ¥ в X, всегда выполнено соотношение

х(уф) = (хчг)ф.

Это последнее преобразование обозначают просто через ХУФ (без скобок).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я