§ 4. Произведение отображений и преобразований

4.1. Определение произведения отображений; примеры. Мы уже говорили о том, что точечные отображения являются функциями, отличающимися от привычных нам функций лишь тем, что здесь и аргумент и само значение функции являются не числом, а точка­ми В этом параграфе мы выясним, какой смысл имеет в применении к отображениям и преобразованиям понятие сложной функции (функции от функции).

Если у=/(х), a z = g(y), то z также является функцией от аргумента х:

z = g[f(x) ]

(например, если /(х) — ах, g(y) = V у, то z= если /(*) = sin х, g"(_y) — log то z = log sin х и т. д.). Аналогично определяется и «сложное отображение» (отображение от отображения). Именно пусть Ф — отображение с областью определения А и областью значений Ах, пусть, кроме того, задано другое отображение областью опреде­ления которого служит то же точечное множество Ах, которое является областью значений для первого отображения. Область значений отображения У обозначим через Аг. Так как для любой точки А области А ее образ Л'=Ф(Д) принадлежит области Ах — области определения преобразования V,—то определена также точка

Л" = «F (Л') = Т- (Ф (/!)),

принадлежащая области Аг. Таким образом, с каждой точкой А области А сопоставляется точка А" области Аг, так что мы получаем неко­торое отображение с областью определения А и областью значений Аг. Это отображение, переводящее точку А в А", называют про­изведением отображений Фи V) и обозначают просто через V® (без скобок). Таким образом,

= ^ (Ф(Л>)

— эта формула является не чем иным, как определением про­изведения отображений.

') Иногда также суммой отображений Ф и У.

Если Ф и ^--преобразования с одной и той же областью действия Л, то их произведение Ч^Ф также, очевидно, является преобразованием с той же областью действия Л.

Приведем несколько примеров.

1°. Пусть Ф—параллельный перенос на вектор ММ' = а, ¥ — параллельный перенос на вектор М' М" = Ь, (см. пример 4 на стр.54). Очевидно, что если АА'#ММ' и А'А"#М'М", то АА"#ММ"; другими словами, если АА' = ММ', А'А" = М'М", то АА"=ММ" (рис. 36). Таким образом, произведение Ч'Ф двух параллельных

переносов (на вектор ММ' —а и на вектор М'М" — Ь) также пред­ставляет собой параллельный перенос (на вектор ММ" = а+ Ь)Х).

2°. Если Ф есть параллельный перенос на вектор ММ', a W — симметрия относительно точки О, то представляет собой

симметрию относительно такой точки О,, что 00,=уЛ4'Л1

(рис. 37, а). Это следует из того, что если Ф(Л) = Л' и Y(j4') = = А", то 00, есть средняя линия треугольника АА'А", и поэтому отрезок АА" делится в точке О, пополам (если точки А, А' я О лежат на одной прямой, то треугольник А А' А" вырождается в отре­зок; проследить, как при этом видоизменяются рассуждения, мы пре­доставляем читателю).

Аналогично, если Ф — симметрия относительно точки О, а Ч^ — параллельный перенос на вектор ММ', то ЧГФ есть симметрия относительно такой точки 0\, что 00, =~ММ' (рис. 37, б).

') Ср. в этой книге статью «Векторы и их применения в геометрии», стр. 295.

6 Энциклопедия, i.h s

fl)

Рис.

3°. Пусть Ф—симметрия относительно точки О, а ¥ — сим­метрия относительно (другой) точки О, (рис. 38). Ясно, что если Л'=.ф(Л), А"=ЧЦА'), то 00, есть средняя линия треугольника

А А'А' и, следовательно, АА" = 2 00t; поэтому зпесь произведение ЧГФ преобразований представляет собой параллельный перенос (на

Рис. 38.

4°. Выясним теперь, что представляет собой произведение двух симметрий Ф a f относительно прямых I и /,. Здесь следует различать два случая:

а)         Если прямые I и /, параллельны и А' =Ф(Л), А" = (Л'), то АА'Л'Л"_1_/,. При этом отрезок АА' делится пополам точ­кой Р пересечения его с /; отрезок Л'Л" делится пополам точкой Q его пересечения с /,. Отсюда легко усмотреть, что A A" = 2PQ (рис. 39, а) и, следовательно, произведение ТФ есть параллель­ный перенос в направлении, перпендикулярном прямым / и /,, на расстояние, в два раза большее расстояния между / и /, (вектор переноса направлен от / к /,).

б)         Если прямые / и/, пересекаются в точке О и Л' ==ф(Л), Л" = V (Л'), то, очевидно, ОЛ' = ОЛ и ОЛ" = ОЛ'; кроме того, лучи OA' и OA образуют равные углы с прямой /, а лучи OA" и OA' — с прямой /, (рис. 39, б). Отсюда следует, что OA" = OA и что /_АОА" равен удвоенному углу между прямыми / и /,, т. е. что произведение Ч^Ф представляет собой вращение вокруг точки О пересечения прямых / и /, на угол, равный удвоенному углу между / и /, (на­правление вращения — от I к /,).

6*

Заметим, что в примерах 3° и 4° мы считали, что центры О и О, или оси | и /, симметрий Ф и Y различны. Можно, однако, искать и произведение двух симметрий Ф относительно одной и той же точки О или прямой I (это произведение можно обозначить через ФФ или через Ф5). Так как симметрия Ф переводит образ А' каждой точки А обратно в точку А, то преобразование Ф1 перево­дит каждую точку А саму в себя. т. е. не меняет положения ни одной точки плоскости. Такое «преобразование» I (здесь хотелось бы говорить об отсутствии всякого преобразования) называется тождественным преобразованием плоскости; оно анало­гично функции /(х) = х числового переменного х, сопоставляющей с каждым значением аргумента х то же самое число.

Таким образом, квадрат симметрии относительно точки или относительно прямой (т. е. произведение двух одинаковых сим­метрий) ■ представляет собой тождественное преобразование (ср. ниже, стр. 97).