• 5

3.5. Бирациональные преобразования.

 С аналитической точки зрения линейные преобразо ания (11) являются самыми простыми в том смысле, что здесь функции <р (х, у) и ф (х, у), фигурирующие в аналитической записи П) преобразования, имеют самое простое строение. Очень удобно также и то, что в этом случае и координаты х, у исходной точки выражаются через координаты х', у' преобразованной точки линейным образом (см. формулы (11')) Обобщением таких преобразо ваний являются преобразования, зада ваемые произвольными рациональ ними (но не обязательно линейными!) функциями фиф координа! х и /у (см. (1)), обладающими тем свойством, что и, обратно, х и у выражаются ч^рез х' и у' также рационально Прео разо- вания подобного рода называются бира пиональными; в современной геомет­рии они играют весьма важную роль2).

Невырожденные линейные преобразования доставляют простейший пример бирациональных преобразований. Другими примерами могут служить ин­версия (7), гиперболическая инверсия (8) или следующее преобразование:

У(х + У-П       ,_ х(х + у-1)

х{х-1) + у(у-\) • 4 * (х— 1) + 1/ (г/ — 1)      К '

Заметим, что если рассматривать формулы (17) как уравнения с неизвест­ными х, у и разрешить их, то мы получим в точности такие же формулы, выражающие х и у через х и у'\

у'(х+у—\)        г-(х'+у~ 1)

 

Рис. 35.

*' (*'-1) + «/'(»/'-!)

У=-

(17а)

*' (х' — 1) + у' (у -1)

Преобразование (17) имеет любопытный еометрический смысл. Если соединить произвольную точку А (х, у) плоскости с вершинами 0(0 0),

') Множество преобразований (16) круговой плоскости совпадает с множеством всех круговых пробразований (ср со статьей «Окружности», стр. 478)

2) Понятие бирационального преобразования является основным для

так называемой «алгебраической геометрии», выросшей уже в настоящем

столетии в большую и содержательную науку.

£,(1, 0), £2 (0, 1) «координатного треугольника» ОЕхЕг и затем симметрично отразить каждую из прямых АО, АЕХ, АЕ2, от биссектрисы соответствую­щего угла треугольника, то полученные три прямые пересекутся в одной точке А', координаты х' и у' которой как раз и даются формулами (17) (рис. 35). Точно так же, если заменить в этом построении треугольник 0£,£2 произвольным треугольником PQR, то мы получим некоторое бира- циональное преобразование плоскости

Приведенные примеры указывают, что бирациональиые преобразования, столь важные для высшей геометрии, играют также известную роль и в геометрии элементарной.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я