• 5

3.4. Комплексные координаты точек круговой плоскости.

 Поскольку круговая плоскость представляет собой совершенно но­вое геометрическое понятие, отличное от обычной плоскости, то для него становятся неприемлемыми принятые способы введения координат, сопоставляющие с каждой точкой плоскости определенную систему чисел — координаты этой точки. Тем самым становится невозможным аналитический подход к инверсии (и другим круговым преобразова­ниям), рассматриваемой как преобразование круговой плоскости. Между тем большой интерес, который представляет для геометрии понятие круговой плоскости, делает весьма важной задачу построения

такой системы координат, которая охватывала бы и «бесконечно уда­ленную» точку круговой плоскости Не вдаваясь в детали, мы наметим здесь один путь решения этой задачи.

Заметим прежде всего, что в качестве координат точки обыкно­венной плоскости часто оказывается удобным принимать не пару чисел х, у, а одно комплексное число z = Л'4- i.V («комплексная координата» точки). В таком случае геометрические преобразования плоскости будут описываться не парой функций двух переменных (см. формулы (1), стр. 72), а одной, функцией комплексного пере­менного '):

z' = F(z).         (14)

Расширим теперь область комплексных чисел, присоединив к «обыкновенным» числам еще одно «идеальное» (несуществующее) число оо («бесконечность»), определяемое как результат деления (любого, отличного от нуля) комплексного числа на нуль (невозмож­ного в области обыкновенных чисел!). Такая «расширенная» ком­плексная плоскость по существу совпадает с круговой плоскостью (причем «идеальное» число оо отвечает «несобственной» точке £2).

Инверсия со степенью k и с центром в точке О, имеющей ком­плексную координату 0, аналитически записывается, как мы сейчас увидим, следующей формулой:

z' = =,  (15)

г

где z — x—iy есть комплексное число, сопряженное с числом z = x-\-iy. Из (15) сразу следует, что центр О инверсии переходит в «идеальную» точку оо, и наоборот; что же касается отличной от центра («обыкновенной») точки z = x-\-iy, то она переходит в точку

у' 1 ,у_ k         kx        ky

г -X +iy - х_Ц/ - xt+y! - х,+ цг +        I, иаа>

что и доказывает совпадение преобразования (15) с инверсией (ср. формулу (15а) с формулами (7), стр. 73). Аналогично этому взаимно однозначными преобразованиями круговой плоскости являются все преобразования, записываемые дробно-линейны ми функциями комплексного переменного

, аг + b            , аг + b            , , , „     а , b ,

z =—или z — —, где ай — Ьсф0, т. е. — Ф ~т 16) cz + d       сг + d  с d

(с, Ь, с, d — комплексные числа). Преобразование (16) переводит в «бесконечно удаленную» точку Q круговой плоскости точку с ком-

') Ср. ЭЭМ, кн. Ill, статью «Элементарные функции комплексною переменного».

плексной координатой г, определенной равенством cz-\-d = 0, соот

ветственно cz

+ d = 0 ^т.

е. с координатой z= — — или z

-4)

и переводит fi в точку z' — — (последнее вытекает из того, что

ь

а + --

(16) можно также переписать в виде z' =         j- или z' =      

с+7

7          г

«Дробно-линейные преобразования» (16) плоскости комплексного пе­ременного оказываются тесно связанными с инверсиями1)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я