• 5

3.3. Линейные преобразования.

 Иногда аналитическое задание преобразования кладут в основу его определения. В этих слу­чаях уже неизбежно приходится выводить геометрические свойства преобразования из аналитических формул.

Рассмотрим следующий пример. Линейными отображениями плоскости называют отображения, записываемые в какой-либо декар­товой системе координат формулами (1), где функции <р(.х, у) и у) линейные:

х'         +

у' = агх + Ьгу+ сг

:!

(И)

Частными случаями линейных отображений являются, как мы виде­ли, параллельный перенос (2), симметрия относительно точки (3) или относительно прямой (4), сжатие к точке (гомотетия) (5) или сжатие к прямой (6).

Если в формулах (11) at = bt = at = b2 = 0, то, очевидно, ото­бражение переводит все точки плоскости в одну точку (с,, с2). Если коэффициенты при х и при у в двух уравнениях (11) пропорциональ­ны, т. е. a2 = 'kat, bt = Xbl, то при любых хну имеем

у' = кх' +с, где с = с,— Kct, (12)

и, значит, все точки плоскости переходят в точки прямой (12) На­конец, если коэффициенты а2; Ь2 не пропорциональны о,, bv т. е. ахЬг — агЬхф0, то уравнения (11) можно переписать в виде

* = a1*' + piy-f-Y„ J = a»*' + P,y+Y.. НП

где

a — b' r _        v _ Ьхсг—Ьгс,

~а>     R _ о 1           а,с,— а,Сг

Р» n.h.- n.h. '            Y*

o,b2—a2fc, ' ™ o,b2—a2b, ' Га a,b2—o2b,

(1Г)

(для этого достаточно решить уравнения (11) относительно неизвест­ных х',у'). Таким образом, отображение (11) переводит в каждую точку (х', У) плоскости единственную точку (х, у) (определенную по формулам (11')), т. е. является линейным преобразованием.

Покажем, что всякое линейное преобразование переводит каж­дую прямую плоскости снова в прямую линию, т. е. является аффинным преобразованием1). Действительно, для того чтобы найти линию, в которую преобразование (11) переводит прямую

Ах + Ву + С= 0,         (13)

') Можно до .азать, что и, обратно, каждое аффинное преобразование плоскости является линейным преобразованием, т. е. записывается в коорди­натах линейными уравнениями, однако доказательство этого факта довольно сложно (см., например, Б Н. Делоне и Д. А Райков, Аналити­ческая геометрия, ч. I, М.—Л., Гостехиздат, 1048, стр. 152, или И. М. Я г л о м иВ Г. Ашкинузе, Идеи и методы аффинной и проективной геометрии, ч. I, М., Учпедгиз, 1962, стр. 78).

достаточно подставить в уравнение (13) значения х и у из (1Г). При этом мы получим

(Ла, + Ва2) х' + Ир, + fipt)/ + (Ay, + Byt +С) = 0 (13')

(где оба коэффициента Ла, + Ва2 и Л|3, 1 £?ра не равны одновременно нулю, ибо отображение (11') тоже является преобразованием У

и a^j — агр,=£0), т. е. снова уравнение прямой!

Столь же просто убедиться, скажем, что линейное преобра­зование сохраняет отношение отрезков одной прямой. Дли этого заметим, что если -4 (*,, Ух), Щх2, у2), С(х„ j;,), D(xt, _у4)— четыре точки од­ной прямой y = kx-\-b, то АВ х,—х,

 

Рис. С4.

                        - (рис. 34). Но точки А(х„ _>»,),

» *s

дят в точки A'{x'lt у\), ..., D'(х[, _у4), где

CD

D{xit yt) перехо-

— = К*, + bty2 + с,)- (а+ ftj-, + с,) =

= а, (*, — *,) + &, (Л~Л) = = а, (*,-*,) + ft, [ (kx2 + b)-(kxt + ft)] =

xt~x't = (al +blk)(xi — xi).

откуда следует, что

А'В' = *г—*,   _ AB

C'D' x'—x. *4—*s ~ CD'

4 1

Предоставляем читателю проверить самостоятельно, что каждое линейное преобразование плоскости переводит параллельные пря­мые снова в параллельные прямые.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я