• 5

1.2. Зарождение геометрии в древнем мире

Выработка абст­рактных геометрических понятий являлась результатом длительного исторического процесса 'накопления геометрических фактов. Перво­начально установление геометрических фактов происходило экспери­ментальным путем, на огромном числе частных примеров, причем правила, полученные в этих частных случаях, обобщались на другие

случаи. Это видно из дошедших до нас правил вычисления площади четырехугольника у египтян и индийцев, которые точны лишь в частных случаях, а в общих случаях дают только приближенное решение задачи: египтяне определяли площадь произвольного четы­рехугольника с последовательными сторонами а, Ь, с, d как произ- а+с b + d

ведение —g— - , что верно только для прямоугольников, а ин­дийцы определяли площадь произвольного четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d как \/ (р—а) (р—b) (р—с) (р — d), где р (a + b + c + rf), что верно только для четырехугольников,

вписанных в круг.

Упоминавшемуся нами Фалесу приписываются первые доказа­тельства простейших геометрических утверждений; ранее необ­ходимость «доказывать» геометрические факты, видимо, не осознава­лась. Доказательства Фалеса до нас не дошли, но" ясно, что эти доказательства не могли опираться на другие геометрические утверж­дения (аксиомы, ранее доказанные теоремы), как это делается в современных геометрических доказательствах. Что представляли со­бой доказательства Фалеса, видно, однако, из формулировок его теорем: почти во всех теоремах Фалеса требуется доказать равен­ство каких-нибудь геометрических фигур—равенство частей кругаг на которые он делится диаметром; равенство вертикальных углов; равенство углов при основании равнобедренного треугольника; равен­ство двух сторон в треугольнике с двумя равными углами; равенство двух треугольников, если две стороны и образуемый ими угол в одном из них равны соответственным элементам другого треуголь­ника. Доказательства этих теорем Фалес производил, несомненно, с помощью наложения друг на друга тех фигур, равенство которых требовалось доказать. Известная теорема Фалеса о том, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр,— прямой, вероятнее всего доказывалась поворотом фигуры на 180°, после чего возникал четырехугольник, вписанный в круг; далее требовалось установить, что этот четырехугольник является прямоугольником; это, вероятно, доказывалось перегибанием четырехугольника по его средним линиям)1.

§ 2. «Начала» Евклида

2.1. Евклид и его предшественники. После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится воз­можным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других.

') Вариант такого доказательства приведен в статье «Геометрические преобразования»; см. стр. 67 этой книги ЭЭМ.

Доказательство многих геометрических теорем приписывается П и- фагору и Демокриту (V в. до н. э.).

Гиппократу Хиосскому (IV в. до н. э.) приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обра­ботки назывались Etoixeui — «элементы, стихии», так как здание геометрии в этих курсах строилось с помощью определений и аксиом как физическое тело из «элементов» («стихий», т. е. огня, воздуха, воды и земли). Последующее усовершенствование этих курсов при­вело к появлению в III в. до н. э. в Александрии знаменитой книги Евклида с тем же названием (в русском переводе «Начала»), вы­теснившей книгу Гиппократа и остальные ее обработки. Существен­ную роль в создании «Начал» Евклида сыграло создание в IV в. до н. э. Платоном и особенно Аристотелем теории доказа­тельств, а также разработка ими общих принципов дедуктивного построения науки (т. е. построения науки с помощью выводов, дока­зательств). О г латинского названия «Начал» Евклида (Elementa) про­исходит термин элементарная геометрия, относящийся к сово­купности геометрических результатов, изложенных у Евклида или получаемых аналогичными методами.

«Начала» Евклида состоят из 13 «книг», из которых I—VI книги посвящены планиметрии, VII—X книги посвящены арифметике и несоизмеримым величинам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, XI—XIII книги посвящены стереометрии. I книга начинается с изложения 23 определений и 10 аксиом, причем пер­вые пять из этих аксиом называются «общими понятиями», а осталь­ные— «постулатами»; дальнейшие определения содержатся во введе­ниях к другим книгам.

Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое представление об этих сочинениях по «Началам» Евклида: в -«Началах» Евклида имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами; появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют «Начала» предшественников Евклида. К таким разделам относится прежде всего введение к I книге.

Введение к 1 книге «Начал» Евклида начинается с определения точки: «Точка—это то, что не имеет частей». Такое определение, нигде не применяющееся в основном тексте «Начал» Евклида, не­сомненно фигурировало во всех предыдущих вариантах «Начал». Смысл этого определения состоит в том, что точка есть неделимая часть (атом) пространства. Такого представления еще не было у Фалеса, оно появляется у Пифагора и Демокрита. Понятие о точке у этих двух мыслителей имеет существенно различный характер: у Пифагора, идеалиста и мистика, пытающегося объяснить все за­кономерности мира с помощью числовых соотношений, точки не имеют

размеров, а имеют только положение в пространстве; Пифагор отождествлял точки с числовыми единицами и, в соответствии со своей философской системой, с душами неродившихся или умерших людей. У материалиста Демокрита, творца атомистической теории в физике, точки, напротив, подобно атомам материи, имели конечные, хотя и «сверхчувственно малые» размеры. Но оба ученых считали, что в конечном теле имеется конечное, хотя и очень большое число точек. Измерение площадей и объемов сводилось у Пифагора и Де­мокрита к подсчету числа точек в фигуре. Эта точка зрения привела

пифагорейцев к изучению «фи­гурных чисел» — «прямоуголь­ных», «квадратных»,«треуголь­ных», «многоугольных» «теле­сных», «кубических», «пирами­дальных» и т. д., т. е. чисел точек, расположенных в виде, соответственно, треугольников, квадратов и других фигур (рис. 1). «Прямоугольные чи­сла»— это числа, которые могут быть представлены в виде про­изведения двух целых множи­телей, больших единицы; «те­лесные числа» — произведения трех множителей; «квадратные» и «кубические числа» мы и теперь называем квадратами и кубами. Суммируя свои конечные атомы в различных плоских фигурах и телах, Демокрит нашел формулы для площади круга, объема пирамиды, конуса и шара с помощью свое­образного приближенного интегрирования.

Следующие определения Евклида: «линия — длина без ширины», «поверхность—длина и ширина без глубины» — также восходят к ато­мистическим представлениям; линия, которую Пифагор и Демокрит представляли как цепочку точек, считалась делимой в ее на­правлении, но неделимой «по ширине», так же как поверхность считалась делимой в двух направлениях, но неделимой «по глу­бине».

Вгсьма древними являются, по-видимому, и определения прямой линии и плоскости у Евклида: «прямая линия — такая, которая оди­наково расположена по отношению ко всем своим точкам» «плоская поверхность—такая, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым линиям на ней». Далее приводятся определения угла, многоугольника, треугольника и четырехугольника и их видов, круга и его частей, параллельных линий. Параллельные прямые определялись как прямые, лежащие в одной плоскости и не пересе­кающиеся между собой.

• • • •

• • •      • • • •

• • •••   ••••

• •• ••• ••••

14 9    16

КШротные числа

•           • •

• • •      • • •

с •• ••• ••••

13 6    10 Треугольные числа

Рис. 1

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я