• 5

3.2. Аналитические методы изучения преобразований.

 Анали­тическое задание геометрических преобразований позволяет изучать их свойства методами аналитической геометрии. Докажем, например, что инверсия переводит каждую окружность или прямую снова в окружность или прямую. Нетрудно видеть, что уравнение ок­ружности с центром в начале координат 0(0, 0) и радиусом г имеет вид

х2 + / = /-*;

уравнение окружности с центром в точке Q(a, b) и радиусом г записывается так:

или

А (хг у%) + 2Вх-\- 2Су -}- D — Q,  (9)

где

4 =       х =       -%- = а2+<>'-гг-, АФ 0. (9а)

При этом окружность проходит или не проходит через начало коор­динат в зависимости от того, равен ли коэффициент D уравнения (9) нулю или отличен от нуля (в первом случае точка с координатами (О, 0) удовлетворяет уравнению (9), во втором случае — не удовлет­воряет). Уравнение (9) охватывает также и прямые линии; прямую мы получим, положив в эгом уравнении Л = 0. Если же в уравне­нии (9) и /4=0, и D — 0, то мы будем иметь прямую, проходящую через начало координат.

Выясним теперь, во что переходит при инверсии геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (9) (т. е. окружность или прямая). Заметим прежде всего, что форму­лы (7) можно записать гакже в следующем виде:

kx

х =

У =

ky

\

(7а)

Если подставить в уравнение (9) вместо х и у их выражения из формул (7а), то получим

Ak1 ^-2Вкх' -\-2Lky -rL)(x''±y ) — и.           (9')

Отсюда непосредственно следует:

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я