• 5

§ 3. Аналитическая запись геометрических преобразований

3.1. Запись геометриче­ских отображений в коорди- jj.^ ч — S, натах. Большую пользу при \ n            изучении точечных преобразо-

\           ваний и отображений может

Р.с. 32.           принести метод коорди­

нат. Предположим, что пло­скость отнесена к некоторой системе координат х, у; для простоты мы будем иметь в виду декаргову систему координат, хотя принципи­ально ничего не изменилось бы при использовании, скажем, полярных координат. Пусть Ф—некоторое отображение, областью определения которого служит некоторая область А на плоскости (возможно, вся плоскость), а областью значений — некоторая область А' той же плоскости. Каждая точка А области А характеризуется парой чисел (х, у), и преобразование Ф сопоставляет с каждой парой чисел (л:, у) (выбранной из некоторой области допустимых значений коор­динат, характеризующих область А) некоторую новую пару чисел (л;', у') — координаты точки А' = Ф(А). Другими словами, координаты (л;', у') преобразованной точки А' являются функциями пары чисел х, у:

= Ф (х, у), ^ У = яр(*. у). \     ( )

Таким образом, задание точечного отображения равносильно зада­нию пары числовых функций двух переменных; обратно, каждую пару функций двух переменных можно представлять себе как запись определенного отображения'). В частности, формулами ви­да (1) можно записывать преобразования плоскости.

Выпишем аналитические формулы для некоторых из рассмотренных выше преобразований. Прежде всего совершенно ясно, что в декар-

 

') При этом непрерывным отображениям (см. выше, стр. 60) отвечают непрерывные функции.

товой системе координат параллельный перенос записывается           сле­дующим образом: . .

х =х + а, 1

У'=У + Ь; \      <2>

здесь (х, у)— координаты точки А\ (х', у') — координаты преобразо­ванной точки А' и (а, Ь) — координаты постоянного вектора АА' = ММ.' (вектора переноса)1). Далее, симметрия относительно начала коор­динат 0(0, 0) записывается формулами:

х' =

а симметрия относительно оси х—формулами:

*' = х, } У =—У- I

Обобщением формул (3) и (4) являются формулы, записывающие гомотетию с центром О и коэффициентом k:

с' = — х \

(8>

х' = kx, 1 y'=ky,\

(5)

c' = jc, Л / = ky, I

(6)

и формулы, выражающие сжатие к оси х с коэффициентом сжатия А:

У'

при fe =— 1 формулы (5), (6), как и следовало ожичать, переходят соответственно в формулы (3) и (4).

Во всех рассмотренных выше случаях функции ф (х, у) и tJ)(x, у) (см. (1)) имели очень простой вид — они являлись линейными функциями. В других случаях эти функции оказываются более слож­ными; так, например, инверсия с центром в начале координат О и степенью k записывается формулами:

kx

х —

 

'           J

(7)

а гиперболическая инверсия со степенью А (см. стр. 59), осью ко­торой является ось х,—формулами:

х'

, k

у =7

') Ср. ниже, стр. 81.

В самом деле, например, формулы (7) показывают, что х' .у' = х:у, т. е. что преобразованная точка А' и исходная точка А лежат на

одной прямой с началом координат О и что х'г -j-y'* = jiTfr^i • т- е- О А•>■ k'

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я