• 5

2.3. Использование геометрических преобразований для «симметризации» чертежа.

 Употребление преобразований, отличных от движений и от преобразований подобия, может иногда позволить использовать простые соображения симметрии в новых, более слож­ных условиях Заметим, например, что сжатие к прямой (пример 8 на стр. 55) позволяет перевести каждый треугольник АБС в равно­

бедренный треугольник А'ВС,— этого легко добиться с помощью сжатия к стороне ВС, подобрав коэффициент сжатия так, чтобы было А'В—ВС (рис. 28; за ВС можно, например, принять ббльшую из двух сторон АВ, ВС). Отсюда и из того, что параллельные прямые сжатие переводит в параллельные (стр. 62), вытекает, что каждую трапецию ABCD можно сжатием перевести в равно­бедренную трапецию AB'C'D (рис. 29; достаточно перевести треугольник ABF в равнобедренный треугольник АВ'F). А так как оавнобедренная трапеция AB'C'D обладает осью симметрии Е'F,

проходящей через середины оснований АВ' и C'D, через точку пе­ресечения диагоналей Е' и через точку пересечения продолжений боковых сторон F, то можно заключить, что и в произвольной тра­пеции ABCD точка пересечения диагоналей, точка пересечения боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (здесь используется то, что сжатие к прямой сохраняет отношение отрезков одной прямой, стр. 62). Иначе говоря, прймая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения про­должений боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

Два сжатия позволяют перевести любой треугольник в равно­сторонний. В самом деле, равнобедренный треугольник А'ВС (рис. 28) можно сжатием к прямой А'С перевести в равносторонний треугольник А'В'С. Поэтому для доказательства того, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке, достаточно показать, что пересекаются в одной точке медианы равностороннего треугольника. Но последнее сразу следует из соображений симметрии (или из того, что медианы равностороннего треугольника одновременно

 

/

Лг

//\

в

Рис. 28.

Рис. 29.

являются его биссектрисами). Отсюда же следует, что если соединить вершины произвольного треугольника ABC с точками, делящими про­тивоположные стороны в отношении 2:1 (рис. 30), то точка пересечения медиан образованного проведенными прямыми треугольника совпадает с точкой пересечения медиан исходного треугольника (ибо совпадают точки пересечения медиан — центры—изображенных на рис. 27, а

правильных треугольников Т и т); доказательство этого, не исполь­зующее соображений симметрии и свойств сжатия к прямой, достаточно сложно.

Аналогичное применение допу­скает и инверсия (см. выше, пример 9, стр. 56). Так, например, можно показать, что каждые две непересе­кающиеся окружности можно неко­торой инверсией перевести в две рис зо     равные окружности. Рассмотрим

теперь изображенные ни рис. 31, а четыре окружности S,, S2, Ss и S4> где S, касается S2, S2—S„ Sa—S4 и S,—снова S,; точки касания окруж­ностей обозначим через А, В, С и D. Переведем инверсией две «про­тивоположные» окружности S, и Ss в равные окружности S, и Sa; при этом рис. 31, а перейдет в симметричный рис. 31, б (осью симметрии ко­торого является линия центров р окружностей S2 и S4). Ясно, что пря­мая Ох01 будет являться осью симметрии и образованного точками касания преобразованных окружностей четырехугольника A'B'C'D', откуда следует, что этот четырехугольник является равнобочной трапецией. Таким образом, мы убеждаемся, что точки А', В', С' и О' принадлежат одной окружности'). А так как инверсия переводит окружность в окружность, то и точки А, В, С и D принадлежат одной окружности]

Наличие на плоскости «особой» точки О (центра инверсии), переводимой инверсией в «бесконечно удаленную» (с точки зрения элементарной гео­метрии — несуществующую!) точку, открывает новые возможности примене­ния этого преобразования в элементарной геометрии. Выше мы говорили о пользе, которую можно извлечь из того, что чертеж геометрической теоремы часто можно при помощи, скажем, сжатия к прямой перевести в «более симметричный» чертеж (ср. стр. 69). Но инверсия значительно больше изменяет чертежи, чем сжатие к прямой, что делает это преобра­зование еще более ценным для приложений.

В качестве примера рассмотрим снова теорему: «если окр жность S, касается S2, S2 касается Ss, Ss касается S4 и S„ касается S, (рис. 31,о), то четыре точки касания принадлежат одной окружности (или прямой)». Выше мы доказывали эту теорему, преобразовав ее чертеж в более сим-

') Или прямой (см. рис. 31, в). Вообще в вопросах, связанных с ис­пользованием инверсии, мы вынуждены считать окружности и прямые равноправными (ибо окружность инверсия может перевести в поямую); поэтому в таких случаях слово «окружность» обычно означает «окружность или прямая».

 

метричный чертеж такого же рода. Но еще сильнее можно изменить этот чертеж, подвергнув его инверсии с центром в точке А касания окружностей S, и S2. При этом точка А перейдет в «бесконечно удаленную» точку Q;

 

 

 

окружности S, и S., перейдут в прямые S, и S2, которые должны быть па­раллельны, так как они не имеют (отличных от Q) общих точек (ведь S, и S2 имеют единственную общую точку А1). В результате исходный

чертеж перейдет в совсем иной (см. рис. 32). Но т. к как точки В', С' и D' на рис. 32 принадлежат одной прямой (это следует, например, из того, что 1 = 4, как накрест лежащие, и Z ' = Z 2. 4 = ,/ 3; следо­вательно, 1— / 3), то точки В, С и D, образами которых они^являются, - \          лежат на одной окружности (или

\           на одной прямой) с точкой А

, (центром инверсии), что и требо "3 валось доказать.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я