• 5

2.2. Применение симметрии.

 В первую очередь, говоря о при­менениях геометрических преобразований к доказательству теорем, следует указать на использование соображений симметрии для вывода свойств «симметричных» фигур. Чаще всего прилагательное «симме­тричный» указывает на нали­чие у геометрической фигуры оси симметрии, т. е. такой прямой /, что симметрия отно­сительно I переводит фигуру саму в себя (рис. 22). Сим­метричными фигурами являются: отрезок (у него две оси симмет­рии— перпендикуляр, восста­вленный к отрезку в его середине, и прямая, на которой этот отрезок расположен); угол (ось симметрии —биссектриса угла); равнобедренный треугольник (ось симметрии—биссектриса угла при вершине); равнобедренная трапеция (ось симметрии — прямая, делящая пополам основания трапеции); ромб (оси симметрии—диагонали ромба); прямоугольник (оси симметрии — средние линии); окружность (оси сим­метрии— диаметры окружности) и т д. Иногда прилагательное «симметричный» указывает также на наличие у фигуры центра симметрии, т. е. точки О, симметрия относительно которой пере­водит фигуру в себя (рис. 23). Цент­рально-симметричными фигурами явля­ются, например, параллелограмм (центр симметрии—точка пересечения диаго­налей) или окружность (центр симмет­рии— центр окружности). Можно также заметить, что центральная симметрия с

360°

центром О совпадает с вращением вокруг точки О на угол 180° = —.

Это позволяет обобщить понятие центральной симметрии, считая, что некоторая фигура М обладает симметрией порядка k с центром О, если она переходит в себя при вращении вокруг точки О (центра симметрии &-го порядка) на угол

 

Рис. 23.

фициентом —> соответственно при помощи гомотетии с центром Н

и коэффициентом +"2"^ значит, эти касательные параллельны между со

бой). Поэтому прямой угол А1РА'—вписанный в окружность S, и точка р принадлежит S,.

 

Л = 0

Рнс. 24.

360°

■—д— (рис. 24); так, травильный треугольник обладает симметрией

третьего порядка (относительно центра треугольника), а правильный я-угольник—симметрией я-го порядка.

Ясно, что известные свойства перпендикуляра, восставленного к отрезку в его середине, или свойства биссектрисы угла непосред­ственно следуют из того, что рас­сматриваемая прямая является осью симметрии соответствующей фигу­ры. Точно так же все свойства равнобедренного треугольника выте­кают из его симметричности; из симметричности окружности сле­дует, что диаметр, перпендикуляр­ный хорде, делит эту хорду пополам. Из наличия у окружности S центра симметрии О вытекает, что вписан­ный угол, опирающийся на диа­метр, можно рассматривать как угол вписанного в 5 параллелограмма (рис. 25). С другой стороны, из наличия у окружности 5 осей сим­метрии следует, что перпендикуляры, опущенные из центра окруж­ности на стороны параллелограмма, являются его осями симметрии,

т. е. что этот параллелограмм пред­ставляет собой прямоугольник; таким образом, мы приходим к выводу, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности — прямой. Из того, что линия центров q двух окружностей и 5, является осью симметрии фигуры, образованной эти­ми двумя окружностями, вытекает, что точка пересечения общих внеш­них касательных т, и тг (или общих внутренних касательных л, и я,) окружностей и Sz, принадлежит прямой q (рис. 26). Центр О пра­вильного треугольника Т (или квад­рата К) является центром симметрии 3-го (соответственно 4-го) порядка. Отсюда вытекает, например, что прямые, проведенные через вершины

гг.        1

правильного треугольника 1 и отсекающие противоположной сто­роны (рис. 27, а), сами образуют правильный треугольник с тем же центром. Аналогично этому прямые, проходящие через вершины квад­рата К и делящие противоположные стороны пополам (рис. 27, б), образуют квадрат с тем же центром.

в*

 

Рис. 25

Все эти предложения доказываются почти одинаково. Так, из того, что симметрия относительно линии центров q окружностей и Sv изображенных на рис. 26, переводит их в себя, следует, что также и совокупность общих касательных т1 и тг окружностей переходит при этой симметони r себя (точнее /и, переходит в тг, а тг — в тх).

 

Но отсюда вытекает, что прямая q является осью симметрии обра­зованного прямыми т1 и тг угла, т. е. совпадает с биссектрисой этого угла. Точно так же из того, что вращение вокруг центра О правипьного треугольника Т на угол 120° переводит треугольник Т в себя, вытекает, что и изображенный на риг 27 а «внутренний»

 

 

 

Рис. 27.

треугольник т переходит при этом вращении в себя (прямая а пе­реходит в b, Ь — в с, и с—в а); поэтому треугольник т также имеег точку О своим центром вращения 3-го порядка, что возможно лишь в том случае, если этот треугольник правильный.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я