• 5

§ 2. Применение преобразований к решению геометрических задач

2.1. Некоторые примеры. Уже перечисленные выше простые геометрические преобразования могут быть эффективно использованы для решения содержательных геометрических задач. Широко известны, например, применения геометрических преобразований к решению задач на построение. Так, решение задачи о построении отрезка АА', заключенного между заданными окружностью S и прямой L и имею­щего данные длину а и направление /, непосредственно получается с помощью параллельного переноса Ф окружности 5 на отрезок а в направлении I. При таком переносе один конец А искомого отрезка переходит в другой, откуда ясно, что одним из концов искомого отрезка является точка пересечения окружности S' — Ф(£) и прямой L (рис. 18, а). [Задача может иметь до четырех решений (рис. 18,6), ибо перенос окружности S можно осуществлять в двух противопо­ложных направлениях.] Далее, задача о построении отрезка АА', за­ключенного между данными прямыми I и и делящегося пополам в данной точке О, решается с помощью симметрии относительно точки О (рис. 19; задача имеет, вообще говоря, единственное реше­ние). Задача о построении в данной окружности S такой хорды АВ, которая проходит через данную точку А и делится пополам второй данной окружностью Sv решается с помощью гомотетии с центром А

и коэффициентом (рис. 20; задача может иметь два решения) *).

Но наиболее интересны применения геометрических преобразований к доказательству теорем.

') См. например, т. II книги И. М. Я г л о м а [2], указанной в списке литературы в конце статьи.

г) Другие примеры применения геометрических преобразований к ре­шению задач иа построение читатель может найти в статье «Общие прин­ципы геометрических построений», стр. 189—193 этой книги.

Так, из того, что средняя линия С,/4, треугольника ABC гомо­тетична основанию АС с центром гомотетии В и коэффициентом -i-

 

т. е. С,.4, получается из АС гомотетией с центром В и коэффи­циентом ; рис. 21), следует, что

СЛ1ИС и CtAl = ±AC. Отсюда, в свою очередь, вытекает, что гомотетия с коэффициен­том— переводящая А в Av переводит Д ABC в ДЛ^С,,

 

треугольника) пересекаются в одной точке М (центре рассматрива.

 

емой гомотетии) и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины. Далее, при той же гомотетии высоты треугольника ABC переходят в высоты треугольника АХВХСХ. Но высоты треугольника ABC—это перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника ABC в их серединах; поэтому они пересекаются в центре О описанной вокруг ABC окружности S. Отсюда следует, что высоты треугольника ABC           \

пересекаются в одной точке Н, причем точки И, О и точка пересечения медиан М (центр гомотетии треугольников ABC и АХВХСХ) лежат на одной прямой1), и НМ:МО= 2. Можно также заметить, что окружность 5 переходит прч рассматриваемой гомотетии ■> описанную вокруг треуголь ника АХВХСХ окружность о, (т. е. в окружность, проходя­щую через середины сторон треугольника ABC), радиус Rx которой, очевидно, равен поло­вине радиуса R окружности S, а центр О, лежит на прямой МО, причем ОМ:МОх = 2 (ибо М — центр гомотетии с коэф­фициентом — i, переводящей

S в 5,). Отсюда следует, что точка О, является середи­ной отрезка НО, а значит,        рис. 21. окружность Sx гомотетична

окружности 5 также с центром гомотетии Н и коэффициентом гомо­тетии-}--^; поэтому окружность Sx проходит через середины А'. Ь' и С' отрезков НА, НВ и НС высот треугольника АВСг).

') Прямая И МО называется прямой Эйлера треугольника ABC.

') Окружность S, называется окружностью Эйлера треуголь­ника ЛВС Часто эту окружность называют также окружностью девяти точек, поскольку она проходит через 9 «замечательных» точек треугольника: через середины Л,, В,, С, сторон, через середины Л', В', С' отрезков высот и через основания Р, Q, R высот Последнее вытекает из того, что точки, скажем, Л, и А' окружности S, являются диаметрально противоположными (ибо касательные к S, в точках Л, и А' получаются из касательной к S в точке Л при помощи гомотетии с центром М и коэф-

5 Энциклопедия, кк 4

 

Рис. 22.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я