• 5

1.3. Некоторые типы геометрических преобразований.

 Нетрудно видеть, что преобразования, описанные в примерах 3, 4, 5, 6, обладают следующим замечательным свойством: любые две точки А и В они с  переводят в такие точки А' и В',

_____                         что расстояние А'В' равно расстоя-

В'ц^Г  нию АВ (рис. 12—15). Преобразования,

Параллельный перенос

Рнс. 12.          Рис. 13.

сохраняющие расстояния между точками, называются движениями; таким образом, вращение, параллельный перенос, симметрия отно­сительно точки и симметрия относительно прямой являются движениями плоскости.

Преобразование, описанное в примере 7 (гомотетия) обладает тем свойством, ч го расстояние между образами А' и В' точек А и. В про­

порционально расстоянию между этими точками (где коэффициент пропорциональности k зависит лишь от преобразования, но не от выбора точек А и В); это вытекает из подобия треугольников OA'В' и ОАВ (рис. 16). Преобразования, изменяющие все расстояния между точками

в одном и том же отношении k ^иначе говоря, сохраняющие отно­шения расстояний между точ-            Симметрия ками: если точки А, В, С и D пе­реходят в точки А', В', С

А'В' АВ\ и ' Т0 СПУ = CD ) '

А'

Симметрия

стноситмбноттм,''

относителъно прямой О

называются

 

W1-

Рис. 14.

 

 

 

I

Рис. 15.

преобразованиями подобия (с коэффициентом подобия Л); движения можно также рассматривать как преобразования подобия с коэффициентом подобия 1. Таким образом, гомотетия является пре­образованием подобия ').

Преобразование, описанное в при­мере 8 (сжатие к прямой), обладает следующим важным свойством — оно переводит каждую прямую ли­нию I снова в некоторую прямую линию I'. Это утверждение является очевидным, если / есть прямая, парал­лельная или перпендикулярная оси сжатия о (в частности, перпендику­лярную к оси о прямую сжатие пере­водит в себя). Прямая же /, образу­ющая с о острый угол а, переходит в прямую /', пересекающую ось сжатия о в той же точке Q, что и /, и образующую с прямой о такой

угол а', что = В самом деле, если перпендикуляр к прямой

о в точке О пересекает прямую I в точке А и если А' — такая

 

') Нетрудно понять, что гомотетия с (положительным или отрицатель­ным!) коэффициентом гомотетии k представляет собой преобразование подобия с коэффициентом подобия J k |.

OA'

точка этого перпендикуляра, что tg (^_A'QO) = ktg а, то 7уг=

ил

OQ tg/_ A'QO , .

«=—qq —— k (рис. 17), откуда и следует, что точка А перехо­дит в А'. Преобразования плоскости, переводящие каждую прямую линию снова в прямую, называются аффинными преобразованиями1); таким образом, сжатие к прямой является аффинным преобразо­ванием. Заметим еще, что сжатие к прямой обладает также следую­щими свойствами: оно переводит параллельные прямые в парал­лельные и сохраняет отно­шение любых двух отрез- В J     кое, принадлежащих ооной

прямой I. Эти свойства сжатия к прямой нетрудно вывести из его определения. Мы, однако, не будем этого делать, так как впоследст­вии мы увидим, что этими же свойствами обладает каж­дое аффинное преобразова­ние (ср. ниже, стр. 76—77).

Преобразование, указан­ное в примере 9 (инверсия), не является аффинным; как мы увидим ниже (см. стр. 75), о прямую линию оно перево­дит в прямую линию или Рис. 17     в окружность; окружность

также переводится инвер­сией в окружность или прямую линию. Преобразование, переводящее каждую окружность или прямую снова в окружность или в прямую, называется круговым преобразованием; таким образом, инверсия есть круговое преобразование2).

Легко понять, что всякое движение и всякое преобразование подобия переводит каждую прямую линию снова в прямую и каждую окружность снова в окружность — таким образом, движения и пре­образования подобия являются как аффинными, так и круговыми

 

й

1'

 

 

 

С А

А

/1 уг

/\ у\

W

/°)

о 1

 

h<£\ <Y Т 1

V | \\ ! 1

 

') От латинского слова affinitas—родство по мужу или жене, свой­ство; это название подчеркивает, что аффинные преобразования переводят каждую фигуру AI в фигуру М', достаточно близкую («родственную») первоначальной (хоть и не столь близкую, как фигура, получающаяся из М движением или преобразованием подобия).

г) Более подробно теория круговых преобразований излагается в статье «Окружности», напечатанной в этой книге ЭЭМ, где, в частности, имеется отличное от приведенного на стр. 74—75 доказательство того, что инверсия является круговым преобразованием.

преобразованиями. В самом деле, окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки О; прямая же пол­иостью характеризуется тем, что для каждых трех ее точек А, В и С, где В лежит между А и В, имеет место равенство АВ-\~ ВС= АС. Но так как движения вовсе не меняют расстояний, а преобразования подобия умножают все расстояния на одно и то же число, то дви­жение или преобразование подобия переводит окружность в окруж­ность, а прямую—в прямую. Можно доказать, что и обратно всякое преобразование плоскости, переводящее прямую линию снова в пря­мую линию и окружность—в окружность, является преобразованием подобия (в частном случае—движением); на доказательстве этого мы здесь не остановимся').

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я