• 5

Пример 10.

 Пусть преобразование Ф переводит каждую точку А в такую точку А', что точки А и А' лежат по одну сторону от прямой о, прямая АА' перпендикулярна заданной прямой о и OA'-OA = k, где О — точка пересечения прямой АА' сои k—фиксирован­ное положительное число (рис. 11). Это преобразова- I ие можно назвать гипер­болической инверсией ') с осью о и степенью k. Если k=a', то точки пря мых I и /,, параллельных о и удаленных от о на рас­стояние а, псрег.одят при нашем преобразовании в себя, внутренние точки ограниченной / и /, поло­сы переходят ео внешние точки, а внешние точки полосы — во внутренние точки; с этим связано на­звание симметрия относи­тельно пары параллельных прямых, которое также дают иногда рассматрива­емому преобразованию. Ясно, что преобразование точек прямой 1 _L / при симметрии относительно па­ры параллельных прямых I и 1л совпадает с преобразованием точек этой прямой при симметрии относительно окружности S с центром в точке О пересечения л и о и радиусом о; это может быть использова о для построения образа А' точки А при гиперболической инверсии (рис. 11). Часто также считают, что степень k гиперболической инверсии может быть

 

Рис. 11.

') Причины, обусловливающие такое название, будут объяснены ниже (см. стр. 75).

и о т р и ц а т е л ь н о й; в этом последнем случае ОА'-ОА — и направ ления отрезков OA' и OA противоположны.

За область действия гиперболической инверсии можно принять пло­скость с выброшенной из нее прямой о, поскольку точки этой прямой не переходят при нашем преобразовании ни в какие точкг плоскости. Можно также построить и другую область действия гипербо. ческой инверсии, не выбрасывая из плоскости «лишние» точки, а наоборот, добавляя к пло скости новые «несобственные» точки, на чем мы здесь останавливаться не будем.

Заметим, что все рассмотренные точечные преобразования являются непрерывными, т. е. обладают следующим свойством: если перемен­ная точка Ап, оставаясь все время в области действия преобразования Ф, стремится к некоторой точке А, также принадлежащей области действия преобразования (т. е. если расстояние АпА стремится к нулю при неогра ниченном возрастании номера п), то отвечающая точке АГ1 точка Ап — Ф(Ап) стремится к точке А' = Ф(А), отвечающей точке А. Легко привести и сколько угодно примеров не непрерывных преобразований (таким будет, например, преобразование, при котором все параллельные заданной пря­мой I прямые плоскости претерпевают параллельный перенос в направ лении прямой I, но прямые, расстояние которых от / рационально, сдвига­ются на величину афО, а прямые, расстояние которых от / иррационально,— на величину 2а). Однако, так как в геометрии используются почти исклю­чительно непрерывные преобразования, то мы здесь ограничимся рассмот­рением только таких преобразований Впрочем, свойства непрерывности рассматриваемых преобразований мы нигде использовать не будем.

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я