• 5

§ 1. Возникновение основных понятий геометрии

1.1. Понятия геометрии как результат абстракции. Геометрия

представляет собой общую науку о пространственных формах. С пространственными формами человек столкнулся прежде всего

при измерении участков земли. Греческое слово у60^6"1^'0' ог которого происходит название геометрия, как раз и означает «землемерие». С другими пространственными формами человек столк­нулся при постройке зданий, выделке сосудов и т. д.

Геометрия, как и вся математика, изучает объекты реального мира. Однако математические науки существенно отличаются от остальных естественных наук, изучающих специфические физические, химические, биологические, экономические и другие закономерности. В отличие от этих наук математика изучает объекты реального мира в наиболее абстрактном виде, существенно отвлекаясь от их кон­кретного содержания. В частности, геометрия приним^т во внима­ние только форму предметов, отвлекаясь от вещества и физических свойств этих предметов, точно так же как, например, арифметика принимает во внимание только числа предметов и их отношения. Этот абстрактный характер математики и позволяет широко приме­нять в ней дедуктивный метод, т.е. логическое выведение закономерностей из небольшого числа основных положений (опреде­лений, аксиом), в то время как упомянутые выше науки применяют главным образом индуктивный метод, т.е. установление общих закономерностей на основе частных эмпирических наблюдений.

Однако эмпирические наблюдения и практический опыт играли важнейшую роль при возникновении математических понятий и основ­ных положений математики. Именно потому, что люди миллионы раз сталкивались с такими арифметическими закономерностями, как не­зависимость результата счета камней или палок от порядка счета, или с такими геометрическими закономерностями, как единственность чинии, по которой располагается натянутая веревка, соединяющая два колышка, смогли выработаться такие основные положения ариф­метики и геометрии, как коммутативный закон сложения и аксиома о единственности прямой линии, соединяющей две точки. Вся тер­минология, применяемая в геометрии, с исключительной наглядностью свидетельствует о том, что понятия о геометрических образах воз­никли путем абстракции от реальных предметов различной формы.

Так, например, слово точка происходит от глагола «ткнуть» и означает результат мгновенного прикосновения, укола'). Тот же смысл имеет и латинское слово punctum, от которого произошли термины Punkt, point (точка) на западно-европейских языках и рус­ский термин «пункт»: эти слова происходят от латинского глагола

') Это толкование является сейчас общепринятым. Интересно, од­нако, отметить, что замечательный русский математик Н. И. Лобачевский придерживался другого взгляда на происхождение термина «точка». Ои говорил, что точка происходит «от прикосновения пера, откуда заимство­вано самое название» («точка» — отточенное острие гусиного пера, которым писали во времена Лобачевского. См. Н. И. Лобачевский, Избранные труды по геометрии, Изд. АН СССР, Москва, 1956, стр. 108).

pungo—«укалываю». Слово линия, от латинского linea, в конечном счете происходит от латинского слова linum — «лен, льняная нить»; это показывает, что понятие линии является абстракцией от тонкой льняной нити. Часто слово «линия» употребляется в значении «пря­мой линии» (откуда, например, термин «линейка»); понятие прямой линии, очевидно, является абстракцией от натянутой льняной нити.

Такое же конкретное значение имеют и геометрические термины греческого происхождения: слово сфера происходит от греческого tripaiQa—-«мяч», куб—от хи|Зос;— «игральная кость», цилиндр—от KfjAivfiQog — «валик», конус — от xivog — «сосновая шишка», приз­ма— от л(5!0|ха—«опиленная», ромб—от Q&jx(3oe —- «бубен», трапе­ция— от TQani^iov—«столик». Отсюда видно, что указанные гео­метрические фигуры представляют собой понятия, являющиеся аб­стракциями от форм мяча, игральной кости, круглого валика, сосно­вой шишки, опиленного бревна, четырехугольного бубна, столика с раздвинутыми ножками. Слово пирамида, от греческого nuga^S> в конечном счете происходит от древнеегипетского слова ригата, которым древние египтяне называли свои пирамиды.

Нить, веревка была не только прообразом геометрической линии, но и первым геометрическим инструментом: натянутая веревка играла роль линейки; закрепляя один конец веревки, другим ее концом описывали как циркулем, окружность; деля веревку со связанными концами на 12 равных частей и придавая этой веревке форму тре­угольника, стороны которого соответственно равны 3, 4 и 5 частям, получали прямоугольный треугольник; таким образом строился прямой угол. Греки называли древнеегипетских геометров, у кото­рых они обучались геометрии, aQjiefiwcuiTai — «натягивателями ве­ревки»; древнейший индийский геометрический трактат, посвящен­ный правилам построения алтарей, назывался Sulva-sutra-вПравила веревки». Циркуль и линейка появились раньше всего в Китае: специальные иероглифы для обозначения циркуля и линейки возникли в китайской письменности в середине II тысячелетия до н.э. Древние греки приписывают изобретение этих инструментов Фа л ее у (VI век до н. э.); во всяком случае египетские «натягиватели веревки», у которых учился Фалес, по-видимому, не пользовались этими инстру­ментами. С циркулем связано появление слова центр — от грече­ского слова xevreov, обозначающего палку с заостренным концом, которой подгоняли быков, а позже — ножку циркуля, ставящуюся в центр описываемого круга.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я