• 5

Пример 9.

 Гомотетия с центром О и коэффициентом k (при­мер 7) определяется как преобразование, переводящее точку А в та-

t           OA'

кую точку 4' прямой OA, что отношение -щ- равно к. Рассмот-

Р         А         1. рим теперь преобразование, перево­

дящее точку А в такую точку А' луча OA, что произведение OA-OA' имеет заданную величину: OA' -OA = k, где k—некоторое за­данное положительное число (рис. 9). Это преобразование называется ин­версией') (с центром О и сте­пенью k). Если k = a2, то точки окружности 5 с центром О и ра­диусом а переходят при инверсии сами в себя, внешние по отношению рис g         к 5 точки переходят во внутрен­

ние, а внутренние точки—во внеш­ние; это обстоятельство оправдывает другое название рассматривае­мого преобразования—симметрия относительно окружности Симметрию относительно окружности 5 можно также описать геоме­трически: при этом преобразовании внешняя по отношению к S точка А переходит в точку А' пересечения прямой ОД (где О — центр окруж­ности 5) с прямой PQ, соединяющей точки Р и Q прикосновения с 5 проведенных к ней из А касательных, а А' переходит в А; это следует из того, что в прямоугольном треугольнике ОРА (рис. 9) РА' есть высота, и потому ОА-ОА' =ОРг = а1 = k.

Можно также считать, что степень k инверсии может быть и отрицательной, причем в этом последнем случае отрезки OA' и OA противоположно направлены и OA'-OA = \k\.

Заметим теперь, что, строго говоря, мы не дали точного опреде­ления инверсии, ибо отображение, определенное выше, не определено в точке О — ей не соответствует при инверсии никакая точка плоскости. Один из приемов, применяющихся для устранения этой некорректности,— считать, что область действия инверсии не сов­

 

') От латинского слова inversio — обращение.

падает со всей плоскостью; эта область действия Л представляв собой плоскость с исключенной («выколотой») точкой О, поскольку эта точка не имеет образа при инверсии. Ясно, что инверсия пред­ставляет собой взаимно однозначное отображение этой области А (плоскости с выколотой точкой). Таким образом, мы здесь впервые встречаемся с преобразованием «плоскости», область действия кото­рого отличается от всей плоскости.   — Можно встать также на другую точку зрения. Поскольку точка О не имеет образа при инверсии, можно условно считать, что точка О переходит при инверсии в «несобственную» (т. е. не существую­щую на обычной плоскости) точку £2. Наоборот, точка £2 переходит при инверсии в точку О. При таком соглашении инверсия становится

взаимно однозначным отображением («преобразованием») «расширен- соединением к ней еще одной точки Q. Так как при приближении

ной» плоскости Л*, получающейся из обыкновенной плоскости при­

точки А к О ее образ А при инверсии неограниченно удаляется от О / k \

^ибо 0А'=дд]' т0 образ £2 точки О иногда называют бесконечно

удаленной точкой «расширенной» плоскости А*. Плоскость А*, полученную присоединением к обыкновенной плоскости одной «беско­нечно удаленной» точки £2, часто называют расширенной плоскостью'). Так как мы в дальнейшем встретимся с иными способами «расшире­ния» обычной плоскости, то нам будет более удобен термин круго­вая плоскость Причины, обусловливающие такое название, будут раскрыты ниже2).

Итак, мы можем принять за область действия инверсии либо плоскость с одной выколотой точкой, либо «расширенную» плоскость, получающуюся добавлением одной «несобственной» точки Впослед­ствии мы увидим, что считать областью действия инверсии «расши­ренную» плоскость в ряде отношений значительно удобнее.

Подчеркнем, что утверждение типа «инверсия переводит точку О в бесконечно удаленную точку £2» не является содержательной тео­ремой— оно представляет собой лишь иную формулировку того, что точка О не имеет образа при инверсии. Однако введение понятия" круговой плоскости уже выходит за рамки чисто терминологических соглашений: здесь мы делаем новый шаг по пути математической абстракции, рассматривая совершенно новое образование — плоскость, которая, кроме точек, фигурирующих в школьном курсе геометрии.

') Это название принято, например, в теории функций комплексного переменного.

2) Заметим еще, что «расширенная» (т. е. кругоьая) плоскость Л*, являющаяся областью действия инверсии, может быть взаимно однозначно отображена (при помощи стереографической проекции, см сгр 2? и след. этой книги) на поверхность сферы S, так что поверхность сферы можно рассматриьать как модель (см. стр 21 и след этой книги) руовой плоскости. Точка £2 переходит при стереографической и, оекциь в «север-

содержит еще новую (равноправную с остальными!) «бесконечно удаленную» точку. При этом круговая плоскость является не менее законным математическим понятием, чем обычная, «евклидова» пло­скость. Ведь и представление о (безграничной!) плоскости, на кото­рой каждая прямая может быть неограниченно продолжена в обе стороны, является лишь математической абстракцией и не имеет реального смысла; точное описание плоскости доставляется лишь набором аксиом, характеризующих геометрию на плоскости'). Разное понимание слова «плоскость» приводит к разным наборам аксиом; так, на круговой плоскости будет несправедлива аксиома: «через две точки проходит единственная прямая», поскольку через «обыкновенную» точку А и «бесконечно удаленную» точку £2 проходит бесконечно много прямых (следует считать, что все прямые круговой плоскости проходят через «бесконечно удаленную» точку £2, поскольку образы всех прямых при инверсии проходят через центр инверсии О, являю-

ный полюс» N сферы S. Если при этом радиус сферы S выбран так, что окружность инверсии переходит при стереографической проекции в экватор сферы S, го инверсии круговой плоскости Л* будет соответствовать сим­метрия сферы S относительно экваториальной плоскости. Иначе говоря,

если В и В'—две точки сферы S, симметричные относительно плоскости экватора, а А, А' — проекции точек б и 6' из точки N на плоскость Л* (рис. 10), то А переходит в А' при инверсии относительно окружности, в которую проектируется эк»атор сферы (см. в связи с этим стр 468—472 этой книги ЭЭп)

') См в этой книге ЭЭМ статью «.Аксиомы и основные понятия гео­метрии».

 

Рис. 1П

щийся образом точки £2 — см. ниже, стр. 75). Разные подходы к по­нятию плоскости, характеризуемые разными наборами аксиом, являются одинаково допустимыми; в одних задачах нам может понадобиться толковать слово «плоскость» в одном, а в других—в другом смысле. И, разумеется, совершенно беспредметным явился бы спор, скажем, о том, имеет ли плоскость одну или много «бесконечно удаленных» точек: это полностью зависит от принятой точки зрения, диктуемой теми задачами, которые перед иами стоят. В иных случаях (напри­мер, в связи с рассмотрением гомологии — см. ниже § 7, или гипер­болической инверсии—см. пример 10) мы можем прийти к необходи­мости совсем иного пополнения плоскости «идеальными» или «бес­конечно удаленными» элементами—и полученная на таком пути «плоскость» будет отличаться от обычной и от круговой плоскости, но не будет ни «хуже», ни «лучше» их.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я