• 5

Пример 3.

 В качестве последнего примера укажем на вращение (поворот) плоскости Л вокруг точки О на угол а. Для этого отображения и область определения, и область значений совпадают со всей плоскостью Л\ образ точки А определяется как такая точка А'

                                    плоскости, что OA' = OA и

/ АО А' = а, причем направле-

L/ Ц-    ——ние вращения от OA к OA' на

I           —•       Угол а (п0 часовой стрелке

j у3^ J или обратное ее движению) К ( vr""""   указано заранее (рис. 3).

^^ \       /           1.2. Геометрические пре-

\           /           образования. Между рассмо-

\ ~ /      тренными выше примерами 1,2,

\           /           с одной стороны, и приме­

ре"      ром 3 — с другой стороны,

Y^y '    имеется существенное разли-

у/         чие. Отображения, рассматри-

0          ваемые в примерах 1 и 2,

Рис. 3.            таковы, что существуют две

различные точки, образы которых совпадают, т. е. точки АфВ, для которых Ф(Д) = Ф(£). Например, если в качестве В взять любую точку прямой АА' (рис. 1), то для отображения Ф, рассмотренного в примере 1, мы имеем ф(Д) = Ф(В). Аналогично две точки

А(х, у) и В(х + 2л, у — 4л)

переводятся отображением Ф примера 2 в одну и ту же точку. Кроме того, отображение Ф, рассмотренное в примере 2, таково, что не каждая точка выбранной нами области значений А'(^А) является

образом какой-либо точки при отображении Ф. Например, точка с ко­ординатами ^2, —-g-j не является образом никакой точки (ибо не

существует действительного числа х, для которого sinjc = 2). Эти обстоятельства выражаются следующим образом: отображения, рассмот­ренные в примерах 1 и 2, не являются взаимно однозначными.

Отображение Ф с областью определения Л и областью значе­ний Л' называется вз а и мн о однозначным, если, во-первых, ни для каких двух различных точек А и В области Л их образы Ф(Л) и Ф(#) не совпадают и, во-вторых, каждая точка области Л' является образом некоторой точки при отображении Ф.

Грубо говоря, в}аимно однозначное отображение Ф можно охарак­теризовать тем, что никакие две различные точки не «склеиваются» в результ.1те отображения Ф и, кроме того, Ф отображает область Л не на часть области Л', а на всю эту область.     _

Наибольшую роль в геометрии играют такие взаимно однознач­ные отображения, для которых область определения Л совпадает с областью значений. Такие отображения называются преобразова­ниями множества Л. Само множество Л мы будем при этом называть областью действия преобразования Ф. Итак, преобразованием мно­жества Л (или, иначе, преобразованием с областью действия Л) называется всякое взаимно однозначное отображение Ф, для ко­торого область определения и область значений совпадают с Л.

Отобрчжение Ф, рассмотренное в примере 3 (вращение плоскости Л на угол а вокруг точки О), является, очевидно, примером пре­образования плоскости (т. е. преобразования, областью действия которого является вся плоскость).

В дальнейшем мы ограничимся в этой статье рассмотрением только преобразований '), причем таких преобразований, областью действия которых служит плоскость или «почти плоскость» 1). Точнее говоря, мы вынуждены будем в ряде случаев считать областью действия преобразования Ф не всю плоскость, а плоскость с «выколотыми» (т. е. удаленными) точками или линиями. Иногда, напротив, мы будем присоединять к плоскости новые («несобственные», т. е. не существующие с точки зрения школьного курса геометрии) точки или линии. Так как во всех случаях основой для конструирования области действия преобразования Ф будет служить плоскость, то,

') Отображения, не являющиеся преобразованиями, также играют в некоторых вопросах геометрии заметную роль. Например, разного вида проекции трехмерного пространства на плоскость, подробно изученные в статье «Методы изображений» (стр. 233—234 этой книги ЭЭМ), очевидно, преобразованиями не являются.

2) В настоящей статье мы почти не будем говорить о преобразованиях пространства, поскольку более простого случая плоскости достаточно, для того чтобы осветить все принципиалкные моменты теории геометри­ческих преобразований.

 

 

 

 

 

допуская некоторую неточность, мы будем объединять все рассмат­риваемые преобразования одним общим названием — преобразования плоскости.

Приведем еще несколько примеров преобразований плоскости.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я