• 5

4.7. Решение сферических треугольников

Выведенные нами тригонометрические соотношения позволяют «решить сферический тре­угольник» по любым трем из его элементов (сторон и углов). Если нам даны три стороны сферического треугольника, то по формуле (19) теоремы косинусов находим

а Ь с cos-       cos — cos—

д          Т          <" Г

cos А =                                  

. Ь . с sin— sin — г г

и аналогично по формулам (20) и (21) находим cos В и cos С.

Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол между ними, например стороны Ь, с и угол А, то сторону а найдем по формуле (19) теоремы косинусов. Зная все три стороны сфери­ческого треугольника, найдем его остальные углы, как указано выше.

Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий против одной из них *), например стороны а, Ь и угол А, то по формуле (22) теоремы синусов находим

. Ь sin —

sin В =            sin А.

. а sin — г

Заметим, что эта формула дает для В два значения, дополняю­щих друг друга до я; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными сто­ронами н равными углами, лежащими против одной из этих сторон, не обязательно равны, а возможен случай, когда углы этих треуголь­ников, лежащих против другой стороны, дополняют друг друга до я, как мы это видели, рассматривая IV признак равенства сфери­ческих треугольников.

Для определения стороны с и угла С проведем через вершину С дугу большой окружности, перпендикулярную большой окруж-

') Предполагается, что хотя бы одна из данных сторон отлич- я

на от уГ. 36*

 

ности АВ '). Если эти большие окружности пересекаются в точке D, то рассмотрим прямоугольные сферические треугольники ACD и BCD (рис. 47). В этих треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах А и В. Второй катет каждого из этих треугольников определяется по первым формулам тангенсов (47) или (48), а угол при вершине С определится по формуле котангенсов (49). Сторона с

и угол С сферического треугольника ABC являются суммами найденных нами сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на егороне АВ, и раз­но с т я м и этих сторон или углов, если точка D лежит на продолжении стороны АВ. Именно, если оба угла А, В в исходном треугольнике ABC являются острыми или оба тупыми, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку С, пе­ресекает окружность АВ в двух точках, одна из которых лежит на дуге АВ; эту точку и следует принять за D в рассматриваемом случае (рис. 47). Таким образом, углы при вершинах А и В в прямоугольных треугольниках ACD и BCD сов­падают с углами А и В исходного треугольника ABC, а сторона с и угол С треугольника ABC являются суммами найденных нами сторон или углов прямоугольных треугольников ACD и BCD. Если же в треугольнике ABC один из углов А, В острый, а второй — ту­пой, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку С, пересекает окружность АВ в двух точках, н и одна из которых не ле­жит на дуге АВ. В этом случае за D можно при­нять любую из этих то­чек, например ту, кото­рая лежит на продолжении стороны А В за точку В (рис. 48). Таким образом, угол при вершине А в треугольнике ACD равен углу А

 

а угол при сторона с и

треугольника ABC, вершине В в треугольнике BCD равен я—В. При этом угол С треугольника ABC являются разностями сторон AD, BD или углов при вершине С треугольников ACD и BCD. Наконец, если отин из углов А, В (например, А) прямой, то треугольник ABC

') Так как, по предположению, хотя бы одна из сторон а, Ь отлична от Yr,T0 точка ^ не является полюсом окружности АВ, и потому через С проходит единственный перпендикуляр к АВ.

прямоугольный, и для нахождения стороны с и угла С можно в этом случае воспользоваться формулами (44), (47).

Если нам даны три угла сферического треугольника, то по фор­муле (35) двойственной теоремы косинусов находим

a cos А 4- cos В cos С cos — =

г           sin В sin С

Ь         с

и аналогично по формулам (36) и (37) находим cosy и cosy.

Если нам даны два угла сферического треугольника и сторона между ними, например сторона а и углы В и С, то угол А найдем по формуле (35) двойственной теоремы косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны, как

указано выше.

Если, наконец, нам даны два угла сферического треугольника ') и сторона, лежащая против одного из них, например углы А я В и сторона а, то по формуле (22) теоремы синусов находим

b sin В а Sin — = -т—; sin — .

т sin А г

Заметим, что эта формула дает для Ь два значения, дополняю­щих друг друга до лг; это соответствует тому, что в общем слу­чае два сферических треугольника с двумя соответственно равными углами и равными сторонами, лежащими против одного из этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны этих тре- уюльников, лежащие против другого угла, дополняют друг друга до пг, как мы это видели, рассматривая V признак равенства сфе­рических треугольников. Сторону с и угол С по углам А, В и сто­ронам а, Ь мы найдем, как указано выше.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я