• 5

4.6. Случай прямоугольного сферического треугольника

В слу­чае, когда сферический треугольник ABC—прямоугольный треуголь­ник с прямым углом А, теорема косинусов (19) принимает вид

а          b с

cos у = cos у cos у , (44)

т. е. косинус гипотенузы равен произведению косинусов катетов. Эта теорема, связывающая гипотенузу и катеты прямоугольного сферического треугольника, является .аналогом теоремы Пифагора и называется сферической теоремой Пифагора*).

В случае прямого угла А теорема синусов (22) принимает вид равенств

. b        а . „

sin у = sin у sin В     (45)

и

sin у = sin у sin С.   (46)

Формулы (45) и (46) называются формулами синусов для пря­моугольного сферического треугольника.

В случае прямого угла А формулы пяти элементов (25) и (27) принимают вид

a b       a b „ _

cos — sin      sin — cos — COS С = 0,

r r         r r

') Записав формулу (44) в виде 1—^5+ ... = ^ 1 — + —          +

(ср. стр. 552), можно убедиться, что при т оо сферическая теорема Пифа­гора переходит в плоскую теорему Пифагора: a2 = bs-\-c1.

36 Энциклопедия, кн. 4

а . с а с ,, „ cos — sin           sin — cos — cos В = О,

г г        Г          Г

откуда находим формулы

tg^ = cosCtgy            (47)

tgf=cos£tg-.   (48)

Формулы (47) и (48) называются первыми формулами тангенсов для прямоугольного сферического треугольника

В случае прямого угла А формула (35) двойственной георемы косинусов принимает вид

— cos В cos С4- sin В sin С cos у = О, откуда находим формулу

cos у = ctg В ctg С.  (49)

Формула (49) называется формулой котангенсов для прямо­угольного сферического треугольника.

В случае прямого угла А формулы (36) и (37) двойственной теоремы косинусов принимают вид

cos В = cos С cos •  . (50)

и

cos С = sin В cos у. (51)

Формулы (50) и (51) называются формулами косинусов прямо­угольного сферического треугольника.

В случае прямого угла А формулы котангенсов (38) и (42) при­нимают вид

sin 7-ctg-—ctgB = 0

и

sin у ctg у-ctg С=0, откуда находим формулы

tgy=sinytg В, (52)

tgf=sniytgC.   (53)

Формулы (52) и (53) называются вторыми формулами танген­сов прямоугольного сферического треугольника.

Сферическая теорема Пифагора, две формулы синусов, две пер­вые формулы тангенсов, формула котангенсов, две формулы косину­сов и две вторые формулы тангенсов составляют десять формул прямоугольного сферического треугольника.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я