• 5

4.4.-Двойственная теорема косинусов

Докажем теперь двой­ственную теорему косинусов, также не имеющую аналога в плоской

тригонометрии. Подставим значение cos — -sinА из равенства (32)

в равенство (31). Получим

cos у sin В= cos A sinC+ ^cos В sin С+ sin В cos С cos у j cos С, или

cos ~ sin В= cos A sin С+ cos В sin С cos С+ sin В cos у (1 — sin1 С), т. е.

cos у sin В sin2 С — cos A sin С+ cos В sin С cos С

или, после сокращения на sin С,

cos А = — cos В cos C-f- sin В sin С cos у .       (35)

Формула (35) выражает двойственную сферическую теорему косинусов, которую обычно формулируют в виде: косинус угла сферического треугольника равен произведению синусов двух дру­гих углов на косинус стороны между ними без произведения косинусов двух других углов.

Заменяя в формуле (35) обозначения сторон а, Ь, с и углов А, В, С в круговом порядке, мы получим две аналогичные формулы:

cos В= — cos С cos /4+ sin С sin A cos —,        (36)

cos С = — cos A cos В -)- sin A sin В cos у.       (37)

Формулы (35), (36) и (37) двойственной теоремы косинусов могут быть получены также соответственно из формул (19), (20) и (21) теоремы косинусов, если записать эти формулы для полярного треугольника и использовать соотношения между углами и сторо­нами двух взаимно полярных треугольников; этим и объясняется название этой теоремы.

„ а Ь с

Заметим, что при малых значениях отношении —, — и — . т. е. при

rrr        г

очень малых длинах сторон а, Ь, с сферического треугольника или при

очень большом радиусе сферы г, сферическая геометрия мало отличается

от плоской геометрии и тригонометрические соотношения в сферическом

треугольнике можно заменить тригонометрическими соотношениями в пло­ском треугольнике. И в самом деле при малых значениях переменного х можно пренебречь высшими степенями этого переменного И, следовательно,

Xs X? хг X* можно заменить sinx х—y + gj       на ж a cosx=l— У+4Г —

хг

на 1—или -Даже на 1. Но при такой замене, как легко проверить,

сферические теоремы косинусов и синусов переходят в одноименные пло­ские теоремы, первые шесть формул пяти элементов переходят в теоремы проекций плоской тригонометрии, а вторые шесть формул пяти элементов и двойственная теорема косинусов, ие имеющие аналогов в плоской три­гонометрии, переходят в соотношение 4+fi + C = Jt.

Основные теоремы сферической тригонометрии были открыты учеными средневекового Востока. Соотношения, выражаемые теоре­мой косинусов, были установлены сирийским Математиком и астро­номом IX века ал-Баттани, выходцем из семьи звездопоклонни­ков—сабиев, у которых в течение многих веков сохранялись вавилонские астрономические традиции. Сферическая теорема сину­сов была открыта почти одновременно среднеазиатскими математи­ками и астрономами X века Ибн Ираком из Хорезма, Абу-л- Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из Ходжента. Соотношения, выражаемые двойственной теоремой косинусов, были установлены (с помощью полярного треугольника) в Х111 веке работавшим в Азербайджане Насир-ад-дином ат-Туси, давшим первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я