• 5

4.3. Формулы пяти элементов

Докажем теперь так называе мые формулы пяти элементов. Почленно умножая равенство (19)

на cos у и складывая с равенством (20), получим

b , а с и с , b , с , cos            b cos — cos — = cos - cos b cos — cos —b

r 1        Г          Г          Г          Г          Г          Г

.. a . с „ , . b с с + sin — sin — cos В 4- sin — sin — cos — cos A г Т г г r

или, после приведения подобных членов,

b          Ь • с , а с п , . b с с

cos — = cos - cos — - sin — sin — cos B-b sin — sin — cos — cos A. r       r           r           r r         'rrr

r. e.

b (.       , с \ . a . с „ , . b . с с

cos — 1 — cos' — = sin — sin — cos B+ sin — sin - COS — COS A, r \      r j         r r         1 rrr     '

или

b с . а с n , b с с cos — sin — = sin — sin — cos В + sin — sin — cos — cos A.

r           r           r r         rrr

Сокращая обе части этого равенства на sin у, получим

Ь с .а _ . Ь с . cos — sin — = sin — cos В + sin — cos — cos A г г    г           r r

или, окончательно,

a r,       b . с     b          с          .

sin — cos В = cos — sin                 sin — cos — cos A.            (23)

Г          Г          Г          Г          r           ' '

Мы получили одну из формул пяти элементов, которую обычно формулируют в виде: произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно разности произведения косинуса стороны, лежащей против этого угла, на синус третьей стороны и произведения синуса стороны, лежащей против данного угла, на косинус третьей стороны и косинус стороны, лежащей против данного угла

Заменяя в формуле (23) обозначения сторон а, Ь, с и углов А, В, С в круговом порядке, мы получим две аналогичные формулы:

Ь _      с а       с а

sm — cos С— cos — sin    sin — cos — cos B, 24)

r           r r         r           r           4

с .        a b . a b „        ,nt-,

sin — cos A = cos — sin — — sin — cos — cos C.       (25)

r           r r         r r

Меняя в формуле (23) местами стороны а и с и углы А и С, а затем заменяя обозначения сторон а, Ь, с и углов А, В, С

в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы

а „        с Ь      с Ь .

sin — cos С = cos — sin    sin — cos — cos A, (26)

r           r r         r r         *

b .        а с       а с n   (0_.

sm — cos A = cos — sin     sin — cos — cos B, (27)

r           r r         rr          x

e _ b a b a _  /ric.

sin — cos В = cos — sm     sin — cos — cos C. (28)

Г          г           Г          r           r           1

Эти формулы аналогичны теоремам проекций плоской тригоно­метрии.

Заменяя в формуле (23) sin ~, sin у и sin ~ пропорциональными

им величинами sin A, sin В и sin С, мы получим формулу

Ь         с

sin A cos В = cos — sin С— cos — cos A sin В, г         г

ИЛИ

_os у sin С = cos В sin А Ч- sin В cos A cos ~.  (29)

Мы получили формулу пяти элементов другого вида, которую обычно формулируют в виде: произведение косинуса стороны сфе­рического треугольника на синус прилежащего угла равно сумме произведения косинуса угла, лежащего против этой стороны, на синус третьего угла и произведения синуса угла, лежащего против данной стороны, на косинус третьего угла и на косинус стороны, лежащей против данного угла.

Заменяя в формуле (29) обозначения сторон а, Ь, с и 'углов А, В, С в круговом порядке, мы получим еще две аналогичные фор­мулы

с          а

cos у sin А = cos С sin В sin С cos В cos —,     (30)

cos у sin В= cos A sin C-f- sin A cos Ccos y.     (31)

Меняя в формуле (29) местами стороны сиси углы А и С, а затем заменяя обозначения сторон а, Ь, с и углов А, В, С в кру­говом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы:

cos

b г

sin А -

cos В sin С -)- sin В cos С cos

a

T'

(32)

COS

с г

sin В=

cos Csin А + sin С cos A cos

b

r '

(33)

COS

а г

sin С=

cos A sin В -f- sin A cos В cos

с r

(34)

Эти формулы не имеют аналогов в плоской тригонометрии.

Формулы пяти элементов (29), (3 )), (31), (32), (33) и (34) могут быть получены также соответственно из формул (28), (26), (27), (23), (24) и (25), если записать эти формулы для полярного тре­угольника и использовать соотношения между углами и сторонами двух взаимно полярных треугольников.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я